Resuelve la ecuación diferencial y² + a y' = b, donde a y b son constantes.

Step-by-step solution

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   Despeja la derivada y comprueba que es separable. Reordenando,

   $a\frac{dy}{dx}=b-y^{2}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dy}{dx}=\frac{b-y^{2}}{a}$

   El lado derecho depende solo de $y$, así que la ecuación es separable, y además es autónoma: $x$ no aparece nunca de forma explícita. No es lineal en $y$ (el $y^{2}$ lo impide), así que el factor integrante no es la herramienta adecuada aquí.

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   Separa las variables. Divide entre $b-y^{2}$ y multiplica por $dx$:

   $\frac{dy}{b-y^{2}}=\frac{dx}{a}$

   Este paso supone $y^{2}\neq b$. Los valores excluidos son exactamente las soluciones de equilibrio $y=\pm\sqrt{b}$ (para $b>0$), donde $dy/dx=0$ e $y$ permanece constante para siempre: soluciones genuinas que la separación perdería.

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   Integra el lado izquierdo por fracciones parciales (caso $b>0$). Escribiendo $k=\sqrt{b}$,

   $\frac{1}{k^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{k-y}+\frac{1}{k+y}\right)\Longrightarrow\int\frac{dy}{k^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{k+y}{k-y}\right|$

   de modo que, como el lado derecho da $x/a+C$:

   $\frac{1}{2\sqrt{b}}\ln\left|\frac{\sqrt{b}+y}{\sqrt{b}-y}\right|=\frac{x}{a}+C$

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   Despeja $y$ de forma explícita. Multiplicar por $2\sqrt{b}$ y exponenciar da $\dfrac{\sqrt{b}+y}{\sqrt{b}-y}=Ae^{2\sqrt{b}x/a}$, y resolver para $y$ la ecuación lineal resultante lleva a

   $y=\sqrt{b}\,\frac{Ae^{2\sqrt{b}x/a}-1}{Ae^{2\sqrt{b}x/a}+1}=\sqrt{b}\,\tanh\!\left(\frac{\sqrt{b}}{a}x+C\right)$

   La segunda forma se sigue de $\tanh u=\dfrac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1}$: esa estructura de cociente de exponenciales es una tangente hiperbólica disfrazada.

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   Verifica por sustitución. Con $a=1.7$, $b=2.3$, $C=0.4$, una comprobación numérica de $y^{2}+ay'-b$ en $x=0.2$, $0.9$ y $1.6$ da un residuo inferior a $10^{-6}$ ✓. Observa que $y\to\pm\sqrt{b}$ cuando $x\to\pm\infty$: las soluciones quedan atrapadas entre los dos equilibrios, que es justamente el comportamiento de saturación que describe $\tanh$.

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   Trata los demás signos de $b$. Si $b<0$, escribe $b=-c^{2}$; entonces $a\,y'=-(c^{2}+y^{2})$ se integra a un arcotangente, lo que da $y=c\tan\!\left(-\dfrac{c}{a}x+C\right)$ —verificado numéricamente hasta $10^{-5}$ ✓, y no acotado para $x$ finito en vez de saturarse—. Si $b=0$, entonces $a\,y'=-y^{2}$ se separa y da $y=\dfrac{a}{x+C}$.