Halla el límite de (cos²x − 4cos x + 3)/sen²x cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprobar la forma. En $x=0$, $\cos 0=1$, así que el numerador vale $1-4+3=0$, y $\sin^2 0=0$. El cociente es $\tfrac00$, de modo que hay que hacer algo de álgebra antes de que la sustitución pueda funcionar.

2. 2

   Tratar el numerador como una cuadrática en $u=\cos x$. Se factoriza sobre los enteros:

   $u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\quad\Longrightarrow\quad \cos^2x-4\cos x+3=(\cos x-1)(\cos x-3)$

   El factor $\cos x-1$ es el que se anula en $x=0$.

3. 3

   Reescribir el denominador para que aparezca el mismo factor. Usando la identidad pitagórica,

   $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$

   Ahora tanto el numerador como el denominador contienen $1-\cos x$ salvo el signo, y eso es lo que hace que la cancelación sea exacta y no asintótica.

4. 4

   Cancelar. Se escribe $\cos x-1=-(1-\cos x)$:

   $\frac{(\cos x-1)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-(1-\cos x)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}$

   válido para todo $x$ cercano a $0$ con $x\neq 0$, que es todo lo que un límite necesita.

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   Sustituir en la expresión reducida. Ahora es continua en $x=0$:

   $\lim_{x\to 0}\frac{3-\cos x}{1+\cos x}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

6. 6

   Confirmar numéricamente. En $x=10^{-3}$ el cociente original vale $1.0000005$, y en $x=10^{-4}$ vale $1.000000005$: los dos convergen a $1$. $\checkmark$