Calcula el límite de 1/x − ⌊1/x⌋ cuando x tiende a 0 por la derecha, donde ⌊ ⌋ denota la función parte entera.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer la expresión como una parte fraccionaria. Para cualquier real $t$, $t - \lfloor t \rfloor$ es la parte fraccionaria $\{t\}$, que siempre cumple $0 \le \{t\} < 1$. Así que toda la expresión es $\left\{\tfrac1x\right\}$ y queda atrapada en $[0,1)$: acotada, pero estar acotada nunca demuestra por sí sola que exista el límite.

2. 2

   Ver qué hace la función interior. Cuando $x \to 0^{+}$, $\tfrac1x \to +\infty$. La parte fraccionaria de una cantidad que se dispara al infinito recorre $[0,1)$ una y otra vez, un barrido por cada unidad que aumenta, y $\tfrac1x$ crece sin cota, así que hace infinitos barridos dentro de cualquier intervalo $(0,\delta)$.

3. 3

   Construir una sucesión sobre la que el valor sea siempre 0. Se toma $x_n = \tfrac{1}{n}$ con $n$ entero. Entonces $\tfrac{1}{x_n} = n$ es entero, de modo que

   $\frac{1}{x_n} - \left\lfloor \frac{1}{x_n} \right\rfloor = n - n = 0$

   y además $x_n \to 0^{+}$.

4. 4

   Construir una segunda sucesión sobre la que el valor sea siempre 1/2. Se toma $y_n = \dfrac{1}{n + \tfrac12}$. Entonces $\tfrac{1}{y_n} = n + \tfrac12$, cuya parte entera es $n$, así que

   $\frac{1}{y_n} - \left\lfloor \frac{1}{y_n} \right\rfloor = \frac12$

   y también $y_n \to 0^{+}$.

5. 5

   Concluir por el criterio secuencial. Si el límite existiera y valiera $L$, toda sucesión que se acercara a $0^{+}$ obligaría a los valores a tender a $L$. Dos sucesiones dan $0$ y $\tfrac12$, luego no existe tal $L$:

   $\lim_{x \to 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \text{ no existe}$

   De hecho, eligiendo $x = \tfrac{1}{n + c}$ para cualquier $c \in [0,1)$ el valor se puede hacer exactamente $c$, así que todo número de $[0,1)$ es un límite subsecuencial.