Evalúa el límite de (sen 3x + x)/(x + sen 5x) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la forma. Tanto $\sin 3x+x$ como $x+\sin 5x$ se anulan en $x=0$, así que esto es $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Recuerda el límite clave. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ para cualquier constante $k$, lo cual se deduce de $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ y de $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.

3. 3

   Divide numerador y denominador entre $x$. Para $x\neq 0$ el cociente es igual a $\frac{\frac{\sin 3x}{x}+1}{1+\frac{\sin 5x}{x}}$. Dividir entre $x$ es el movimiento estándar porque convierte cada término en ese límite conocido.

4. 4

   Toma el límite término a término. El numerador tiende a $3+1=4$ y el denominador a $1+5=6$; ambos límites existen y el del denominador es distinto de cero, así que se puede aplicar la regla del cociente para límites.

5. 5

   Calcula la razón. $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

6. 6

   Verifica numéricamente. En $x=10^{-6}$ la expresión original vale $0.66666667$, que coincide con $\frac{2}{3}$.