Evalúa la integral doble de e elevado a menos (x cuadrado más y cuadrado) sobre la región 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   No recurras a las coordenadas polares. Las polares son el truco estándar para las gaussianas, pero solo ayudan cuando la región es un disco o todo el plano. Aquí la región es un cuadrado, así que el $r$ de la frontera dependería de $\theta$ a trozos. La jugada correcta es separar.

2. 2

   Factoriza el integrando. El exponente es una suma, así que la exponencial es un producto:

   $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2} e^{-y^2}$

   Como los límites son constantes y cada factor involucra una sola variable, la integral doble se separa en un producto de integrales simples:

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-x^2} e^{-y^2}\,dy\,dx = \left(\int_0^1 e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^1 e^{-y^2}dy\right) = \left(\int_0^1 e^{-t^2}dt\right)^2$

3. 3

   Ponle nombre a la integral unidimensional. La función $e^{-t^2}$ no tiene primitiva elemental, así que la respuesta se expresa con la función error, definida por

   $\operatorname{erf}(a) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^a e^{-t^2}\,dt$

   Reordenando se obtiene

   $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$

4. 4

   Elévala al cuadrado.

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\right)^2 = \frac{\pi}{4}\operatorname{erf}(1)^2$

5. 5

   Evalúa numéricamente y comprueba que el tamaño sea razonable. Con $\operatorname{erf}(1) = 0.8427008$:

   $\frac{\pi}{4}(0.8427008)^2 = 0.5577463$

   La cuadratura directa sobre el cuadrado da $0.55774629$, que coincide en ocho cifras. La comprobación por cotas también funciona: el integrando va de $e^{-2} \approx 0.135$ hasta $1$ en una región de área $1$, y $0.558$ queda en medio.