Resuelve la ecuación diferencial y'' + y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye la solución exponencial de prueba $y=e^{rx}$. Entonces $y''=r^2e^{rx}$, y la ecuación queda

   $r^2e^{rx}+e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+1\right)=0$

2. 2

   Lee la ecuación característica. Como $e^{rx}\neq 0$ para todo $x$ real:

   $r^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad r^2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i$

3. 3

   Escribe la solución general real. Con $\alpha=0$ y $\beta=1$ en la plantilla $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$:

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$

   Dos constantes arbitrarias es exactamente lo que corresponde a una ecuación de segundo orden: quedan fijadas por dos condiciones iniciales como $y(0)$ y $y'(0)$.

4. 4

   Verifica las dos soluciones de la base. Para $y=\cos x$: $y''=-\cos x$, así que $y''+y=0$ $\checkmark$. Para $y=\sin x$: $y''=-\sin x$, de nuevo $0$ $\checkmark$.

5. 5

   Compara con $y''+4y=0$. Aquella ecuación da $r=\pm 2i$ y soluciones en $\cos 2x,\sin 2x$: el coeficiente de $y$ es el cuadrado de la frecuencia angular, así que $y''+\omega^2y=0$ oscila con frecuencia $\omega$. Aquí $\omega=1$ y el periodo es $2\pi$.