Halla el área de la región limitada por la parábola y = x² y la recta y = x + 2.

Step-by-step solution

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   Localiza los puntos de corte. Al igualar $x^2=x+2$ se obtiene $x^2-x-2=0$, que factoriza como $(x-2)(x+1)=0$, así que las curvas se cruzan en $x=-1$ y $x=2$. Esos pasan a ser los límites de integración.

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   Decide qué curva queda arriba. Prueba el punto medio $x=0.5$: la recta da $2.5$ mientras que la parábola da $0.25$. La recta está por encima de la parábola en todo $(-1,2)$, así que el integrando es recta menos parábola.

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   Plantea la integral. Área $=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx$. Tomar la de arriba menos la de abajo garantiza un integrando positivo, así que no hacen falta valores absolutos ni separación en casos.

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   Halla la primitiva. $\int\left(x+2-x^2\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}$.

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   Evalúa en los límites. En $x=2$: $2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$. En $x=-1$: $\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$. La diferencia es $\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$.

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   Confirma numéricamente. La regla de Simpson aplicada a $(x+2)-x^2$ en $[-1,2]$ devuelve $4.5000$, que coincide con $\frac{9}{2}$ unidades cuadradas.