Calcula la integral indefinida de −8·cos(0.8·t²) respecto de t.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer que no existe primitiva elemental. Por el teorema de Liouville, $\cos(at^{2})$ no tiene primitiva expresable con funciones elementales: es la misma obstrucción que vuelve no elemental a $\int e^{-t^{2}}dt$. Así que el objetivo no es «encontrar» una fórmula por sustitución, sino expresar la respuesta mediante la función especial estándar creada para ello.

2. 2

   Recordar la definición de la integral de Fresnel del coseno. La normalización estándar es

   $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi u^{2}}{2}\right)du,$

   con $C(0)=0$. Toda integral de la forma $\int\cos(at^{2})\,dt$ se puede reescalar a esta forma; el único trabajo consiste en hallar el cambio de variable adecuado.

3. 3

   Reescalar el argumento. Se escribe $0.8=\tfrac45$ y se busca $u=\lambda t$ con $\frac{\pi u^{2}}{2}=\frac45 t^{2}$. Eso obliga a que

   $\frac{\pi\lambda^{2}}{2}=\frac{4}{5}\;\Longrightarrow\;\lambda=\sqrt{\frac{8}{5\pi}},$

   y como $dt=\frac{du}{\lambda}$, en general

   $\int\cos(at^{2})\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\;C\!\left(\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

4. 4

   Sustituir $a=\tfrac45$ y simplificar la constante. El factor de delante es

   $\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot\frac45}}=\sqrt{\frac{5\pi}{8}},$

   así que, al multiplicar por el $-8$ que precede al integrando:

   $-8\sqrt{\frac{5\pi}{8}}=-\frac{8}{2\sqrt2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{10\pi}.$

   Esa simplificación, $8/\sqrt8=\sqrt8=2\sqrt2$, es lo único algebraico que puede salir mal aquí.

5. 5

   Escribir la respuesta y contrastar la derivada. El resultado es

   $\int-8\cos(0.8t^{2})\,dt=-2\sqrt{10\pi}\;C\!\left(\sqrt{\frac{8}{5\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

   Al derivar: $\frac{d}{dt}C(\lambda t)=\lambda\cos\!\left(\frac{\pi\lambda^{2}t^{2}}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}\cos(0.8t^{2})$, y $-2\sqrt{10\pi}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}=-2\sqrt{16}=-8$ ✓. Si la coma de «0,8» se hubiera entendido como separador de miles, el integrando sería en cambio $\cos(8t^{2})$, lo que daría $-2\sqrt{\pi}\,C\!\left(\tfrac{4t}{\sqrt{\pi}}\right)$.