Halla la serie de Taylor de √(x² + 1) en torno a x = 0, da el término general e indica el intervalo de convergencia.

Step-by-step solution

1. 1

   Aplica la serie binomial con $t=x^{2}$. El teorema del binomio generalizado da

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},$

   y aquí $\alpha=\tfrac12$, $t=x^{2}$. Como $t$ es ya un cuadrado, solo pueden aparecer potencias pares de $x$, que es justo lo correcto porque $\sqrt{x^{2}+1}$ es una función par.

2. 2

   Calcula los coeficientes uno a uno. Con $\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-n+1\right)}{n!}$:

   $n=1:\ \tfrac12x^{2};\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}x^{4}=-\tfrac18x^{4};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}x^{6}=\tfrac{1}{16}x^{6};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}x^{8}=-\tfrac{5}{128}x^{8}.$

   A diferencia del desarrollo de $\sqrt{1+2x}$, aquí no hay ningún factor $2^{n}$ que arrastrar: la sustitución aporta potencias de $x$, no una constante.

3. 3

   Escribe el desarrollo. Reuniendo los términos,

   $\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{16}-\frac{5x^{8}}{128}+\cdots$

   Los signos se alternan a partir del término en $x^{4}$, y los coeficientes decrecen deprisa, así que un puñado de términos resulta muy preciso para $x$ pequeño.

4. 4

   Enuncia el término general. En forma cerrada,

   $\sqrt{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{2n},\qquad \binom{1/2}{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{4^{n}(2n-1)}\binom{2n}{n}\ (n\ge1).$

   Comprobación con $n=2$: $\frac{-1}{16\cdot 3}\cdot 6=-\frac{6}{48}=-\frac18$ ✓, que coincide con el coeficiente de $x^{4}$.

5. 5

   Determina el intervalo de convergencia. La serie binomial exige $|t|=|x^{2}|<1$, es decir $|x|<1$. En $x=\pm1$ los términos se comportan como $n^{-3/2}$, de modo que la serie también converge absolutamente allí y el intervalo es el cerrado $[-1,1]$. En $x=1$ converge a $\sqrt2=1.4142136$, pero muy despacio: truncar tras el término en $x^{8}$ da apenas $1.3984375$, los términos hasta $x^{20}$ dan $1.40993$ y hasta $x^{80}$ siguen dando solo $1.41366$. La convergencia rápida es propia del interior, no de los extremos.