Resuelve la ecuación diferencial y'' + y = 12.

Step-by-step solution

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   Divide el problema en dos. Para una ecuación lineal con coeficientes constantes, la solución general es $y=y_h+y_p$: la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular cualquiera de la ecuación completa. Hacen falta las dos partes: tanto omitir $y_p$ como perder las constantes arbitrarias da respuestas equivocadas.

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   Resuelve la ecuación homogénea. Igualando a cero el miembro derecho y probando $y=e^{rx}$ se obtiene la ecuación característica

   $r^2+1=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i$

   Un par conjugado imaginario puro $\pm i\beta$ corresponde a una oscilación sin amortiguamiento, así que

   $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$

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   Elige una solución particular de prueba. El miembro derecho es la constante $12$, así que prueba con una constante, $y_p=A$. Como una constante tiene derivadas nulas, $y_p''=0$ y al sustituir queda

   $0+A=12\qquad\Longrightarrow\qquad A=12$

   es decir, $y_p=12$. (Esto funciona porque $r=0$ no es raíz de la ecuación característica; de lo contrario la prueba habría necesitado un factor adicional de $x$.)

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   Arma la solución general.

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+12$

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   Interpreta la respuesta. La solución oscila con periodo $2\pi$ y amplitud $\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ alrededor del nivel de equilibrio $y=12$. Ese $12$ es el estado estacionario que impone el forzamiento constante: la parte homogénea aporta el vaivén y la particular fija la línea central.

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   Verifica por sustitución. Con $y=C_1\cos x+C_2\sin x+12$: $y''=-C_1\cos x-C_2\sin x$, de modo que

   $y''+y=\left(-C_1\cos x-C_2\sin x\right)+\left(C_1\cos x+C_2\sin x+12\right)=12\ \checkmark$

   Numéricamente, con $C_1=1.3$ y $C_2=-0.7$, una diferencia segunda centrada de paso $10^{-4}$ da $y''+y=12.000$ en $x=0.2,\ 1.5,\ -1.1$ ✓.