Calcula la suma infinita de ln(n)/n² para n desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

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   Establece primero la convergencia. Compara con $\sum n^{-3/2}$: para $n$ grande se cumple $\ln n<n^{1/2}$, así que $\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$. Como $\sum n^{-3/2}$ converge ($p=\tfrac32>1$), la serie dada converge absolutamente. El término $n=1$ vale $\ln 1=0$, de modo que la suma empieza de hecho en $n=2$.

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   Deriva la función zeta bajo el signo de suma. Para $\Re(s)>1$,

   $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

   y $\dfrac{d}{ds}n^{-s}=\dfrac{d}{ds}e^{-s\ln n}=-\ln n\cdot n^{-s}$. Derivar término a término es legítimo aquí porque la serie derivada converge uniformemente en $\Re(s)\ge1+\delta$.

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   Lee la identidad. Por lo tanto

   $\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}=-\zeta'(s)$

   Tomar $s=2$ da la forma cerrada $-\zeta'(2)$. No existe una expresión elemental: $\zeta'(2)$ se relaciona con la constante de Glaisher-Kinkelin, no solo con $\pi$ y $\ln 2$.

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   Obtén un valor numérico que sea realmente fiable. La suma directa converge demasiado despacio (la cola a partir de $N$ vale aproximadamente $(\ln N+1)/N$). Sumar los primeros $200{,}000$ términos y corregir la cola con la estimación de Euler-Maclaurin $\dfrac{\ln N+1}{N}-\dfrac{f(N)}{2}-\dfrac{f'(N)}{12}$ da

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}=0.9375482543$

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   Contrasta el orden de magnitud de forma independiente. El valor conocido $\zeta'(2)=-0.93754825431584\ldots$ coincide en diez cifras con la suma calculada ✓. También se sostiene una cota grosera de sensatez: los cuatro primeros términos no nulos dan por sí solos $\tfrac{\ln2}{4}+\tfrac{\ln3}{9}+\tfrac{\ln4}{16}+\tfrac{\ln5}{25}=0.4464$, y la cola positiva restante lleva la suma hacia $0.9375$ ✓.