Determina las componentes del gradiente de f(x, y, z) = 3x⁴yz³ en las direcciones de los vectores unitarios cartesianos i, j y k.

Step-by-step solution

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   Entiende qué significa «componente en la dirección de $\mathbf{i}$». Para un vector unitario $\mathbf{u}$, la componente de $\nabla f$ en la dirección de $\mathbf{u}$ es $\nabla f\cdot\mathbf{u}$, que también es la derivada direccional $D_{\mathbf{u}}f$. Como $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ son los propios ejes coordenados, esos tres productos escalares son simplemente las tres derivadas parciales:

   $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$

   Así que no hay que calcular ningún producto escalar: la pregunta se reduce a tres derivadas de una sola variable.

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   Deriva respecto de $x$, dejando fijas $y$ y $z$. Aquí el factor $3yz^{3}$ es una constante, así que solo se deriva $x^{4}$:

   $\frac{\partial f}{\partial x}=3yz^{3}\cdot 4x^{3}=12x^{3}yz^{3}.$

3. 3

   Deriva respecto de $y$. Ahora la constante es $3x^{4}z^{3}$ y la variable $y$ aparece a la primera potencia, así que su derivada es $1$:

   $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}z^{3}.$

   Fíjate en que la $y$ desaparece por completo: es una comprobación útil, ya que $f$ era lineal en $y$.

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   Deriva respecto de $z$. Manteniendo fijo $3x^{4}y$ y aplicando la regla de la potencia a $z^{3}$:

   $\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{4}y\cdot 3z^{2}=9x^{4}yz^{2}.$

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   Arma el gradiente y verifica con una prueba de consistencia. Reuniendo los tres resultados,

   $\nabla f=\langle 12x^{3}yz^{3},\;3x^{4}z^{3},\;9x^{4}yz^{2}\rangle.$

   Cada componente conserva grado total $7$, con una unidad menos justo en la variable derivada, exactamente lo esperado para un monomio de grado $8$. De forma equivalente, $x f_x + y f_y + z f_z = (4+1+3)f = 8f$, la identidad de Euler para una función homogénea de grado $8$.