Determina el comportamiento en los extremos de f(x) = (−4x³ + 7x + 9)/(8x⁶ − 9x⁴ − 2x) cuando x tiende a menos infinito y cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Compara los grados antes de hacer cualquier otra cosa. El numerador tiene grado $3$ y el denominador grado $6$. Siempre que el denominador gane por cualquier margen, el cociente queda comprimido hacia $0$ en los dos extremos — los términos de orden inferior no pueden cambiar eso.

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   Conserva solo los términos principales. Para $|x|$ grande, $f(x)\approx\frac{-4x^3}{8x^6}=\frac{-1}{2x^3}.$ Formalmente, divide numerador y denominador entre $x^6$; todos los términos que sobreviven tienden a $0$, salvo la constante $8$ del denominador.

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   Toma $x\to+\infty$. Entonces $x^3\to+\infty$, así que $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$ por valores negativos: $f(x)\to 0^{-}$.

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   Toma $x\to-\infty$. Entonces $x^3\to-\infty$, así que $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$ por valores positivos: $f(x)\to 0^{+}$.

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   Enuncia la conclusión. Los dos límites son $0$, así que $y=0$ es una asíntota horizontal por ambos lados. Numéricamente $f(10^{6})\approx-5\times10^{-19}$ y $f(-10^{6})\approx+5\times10^{-19}$, lo que concuerda con el análisis de signos.