Evalúa la integral doble de sen(x²) + cos(y²) sobre la región 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la suma en dos integrales dobles. La integración es lineal, así que

   $\iint \left(\sin(x^2) + \cos(y^2)\right)dA = \iint \sin(x^2)\,dA + \iint \cos(y^2)\,dA$

   Este es el paso clave: ahora cada parte depende de una sola variable, aunque ninguna de las dos admita primitiva en forma cerrada.

2. 2

   Colapsa cada parte aprovechando que falta una variable. En la primera parte $\sin(x^2)$ no involucra a $y$, así que la integración interior en $y$ solo multiplica por la longitud del intervalo, $1$:

   $\int_0^1\!\!\int_0^1 \sin(x^2)\,dy\,dx = \int_0^1 \sin(x^2)\left(\int_0^1 dy\right)dx = \int_0^1 \sin(x^2)\,dx$

   El mismo argumento (integrando primero en $x$) reduce la segunda parte a $\int_0^1 \cos(y^2)\,dy$.

3. 3

   Reconoce las integrales que quedan como integrales de Fresnel. Renombrando ambas variables mudas como $t$:

   $I = \int_0^1 \sin(t^2)\,dt + \int_0^1 \cos(t^2)\,dt$

   Ni $\sin(t^2)$ ni $\cos(t^2)$ tienen primitiva elemental: definen las funciones de Fresnel $S$ y $C$ (salvo el habitual factor $\pi/2$). Así que la respuesta exacta es $\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\left[S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right) + C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right)\right]$, y en la práctica la respuesta útil es un valor numérico.

4. 4

   Evalúa las dos numéricamente. La cuadratura de Gauss-Legendre de orden alto da

   $\int_0^1 \sin(t^2)\,dt = 0.3102683, \qquad \int_0^1 \cos(t^2)\,dt = 0.9045242$

   Los desarrollos en serie confirman los tamaños: $\sin(t^2) \approx t^2$ se integra dando alrededor de $\tfrac13$, y $\cos(t^2) \approx 1 - \tfrac{t^4}{2}$ se integra dando alrededor de $1 - \tfrac{1}{10} = 0.9$.

5. 5

   Suma y compara con la cuadratura bidimensional directa.

   $I \approx 0.3102683 + 0.9045242 = 1.2147925$

   Evaluar numéricamente la integral doble original sobre el cuadrado, sin separarla, da $1.21479254$: idéntico hasta ocho decimales, lo que confirma tanto la separación como los dos valores unidimensionales.