Deriva f(x) = x³ − 3x² + 2x y explica por qué x³ se convierte en 3x².

Step-by-step solution

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   Enuncia la regla de la potencia y lee qué hace. Para cualquier exponente constante $n$,

   $\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}$

   Ocurren dos cosas a la vez: el exponente baja al frente como multiplicador y el exponente disminuye en uno. Esa sola frase explica el paso $x^{3}\to 3x^{2}$ en el que la gente suele atascarse.

2. 2

   Deriva el término cúbico. Con $n=3$:

   $\frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)=3x^{3-1}=3x^{2}$

   El $3$ no se lo inventa nadie: es el exponente antiguo, trasladado al puesto del coeficiente.

3. 3

   Deriva el término cuadrático dejando el coeficiente fuera. Las constantes salen directamente de la derivada, así que

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{2}\right)=-3\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=-3(2x)=-6x$

4. 4

   Deriva el término lineal. Aquí $n=1$, así que $x^{1}\to 1\cdot x^{0}=1$ y

   $\frac{d}{dx}\left(2x\right)=2\cdot 1=2$

   Un término lineal siempre deja tras de sí solo su pendiente.

5. 5

   Suma las tres piezas, usando la linealidad de la derivada.

   $f'(x)=3x^{2}-6x+2$

6. 6

   Comprueba numéricamente en un punto. Una diferencia central en $x=2$ con $h=10^{-6}$ da $\dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\approx 2.000000$, y la fórmula da $3(4)-6(2)+2=2$. La misma comprobación en $x=-1$ da $\approx 11.000000$ frente a $3+6+2=11$.