Calcula la integral triple de x² + y² sobre el sólido interior al paraboloide x² + y² = 2z entre los planos z = 2 y z = 8.

Step-by-step solution

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   Reconoce el integrando como $r^2$. La combinación $x^2+y^2$ es exactamente el radio cilíndrico al cuadrado, así que las coordenadas cilíndricas son la elección natural: el integrando pasa a ser una única potencia de $r$, sin dependencia angular alguna:

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   Esta cantidad es el integrando que hay detrás del momento de inercia del sólido respecto del eje $z$, y por eso aparece tan a menudo.

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   Plantea los límites por rebanadas horizontales. Estar dentro del paraboloide $z=\tfrac{r^2}{2}$ significa $r\le\sqrt{2z}$, y los planos acotan $z$ entre $2$ y $8$:

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr\,d\theta\,dz$

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   Integra radialmente. Para una altura $z$ fija,

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2z}}=\frac{(2z)^2}{4}=z^2$

   Que $(2z)^2/4$ se reduzca exactamente a $z^2$ es una pequeña suerte incorporada en el coeficiente $2$ de $x^2+y^2=2z$, y vuelve trivial el resto del problema.

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   Barre el ángulo y luego la altura. Como nada depende de $\theta$, esa integral aporta un factor $2\pi$:

   $\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi} z^2\,d\theta\,dz=2\pi\int_2^8 z^2\,dz=2\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_2^8=2\pi\cdot\frac{512-8}{3}=2\pi\cdot 168$

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   Enuncia la respuesta y contrástala con el volumen.

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=336\pi\approx 1055.6$

   Una comprobación rápida de verosimilitud: el volumen del mismo sólido es $\int_2^8 \pi(2z)\,dz=\pi(64-4)=60\pi$, así que el valor medio de $x^2+y^2$ sobre el sólido es $\tfrac{336\pi}{60\pi}=5.6$. Es un radio cuadrático medio creíble para una región cuyo radio va de $2$ a $4$.