Calcula la integral doble de x + 2y sobre la región donde 1 ≤ x² + y² ≤ 4, y ≥ x y x ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Pasa a polares porque la región está limitada por circunferencias. Toma

   $x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad dA = r\,dr\,d\theta$

   La condición del anillo se vuelve simplemente $1 \le r \le 2$, independiente de $\theta$; esa separación es lo que hace que aquí valga la pena el cambio de variables a polares.

2. 2

   Traduce la primera condición angular. $x \le 0$ significa $r\cos\theta \le 0$ y, como $r > 0$:

   $\cos\theta \le 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

   Este es el semiplano izquierdo.

3. 3

   Traduce la segunda condición angular. $y \ge x$ significa $\sin\theta \ge \cos\theta$. Escribiendo la diferencia como un solo seno,

   $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\!\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$

   Al intersectar los dos rangos queda la cuña

   $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

   con una amplitud angular de $3\pi/4$. Equivocarse en esta intersección es el peligro principal del problema.

4. 4

   Convierte el integrando y no olvides el jacobiano.

   $(x + 2y)\,dA = r(\cos\theta + 2\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^2(\cos\theta + 2\sin\theta)\,dr\,d\theta$

   El factor extra de $r$ que viene de $dA$ es lo que convierte $r^1$ en $r^2$; omitirlo es el error clásico en polares.

5. 5

   La integral se separa; haz la parte radial. Como los límites en $r$ no dependen de $\theta$:

   $\int_1^2 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$

6. 6

   Haz la parte angular y combina.

   $\int_{\pi/2}^{5\pi/4} (\cos\theta + 2\sin\theta)\,d\theta = \bigl[\sin\theta - 2\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{5\pi/4}$

   En $\theta = 5\pi/4$ tanto el seno como el coseno valen $-\frac{\sqrt2}{2}$, lo que da $-\frac{\sqrt2}{2} + \sqrt2 = \frac{\sqrt2}{2}$; en $\theta = \pi/2$ el corchete vale $1 - 0 = 1$. Así que la integral angular es $\frac{\sqrt2}{2} - 1$, y

   $\iint_D (x+2y)\,dA = \frac{7}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = \frac{7}{6}\left(\sqrt{2} - 2\right) \approx -0.6834$

   Un valor negativo es lo esperable: la cuña se sitúa mayormente donde $x < 0$. La cuadratura en polares da $-0.68341751$, y una comprobación de Monte Carlo sobre las condiciones cartesianas originales da $-0.681$.