Sean A = x i + y j - z k y B = 3x i + 2y j + z k. Calcular la derivada parcial segunda mixta de A × B respecto de y y luego de x, evaluada en el punto (1, 2, 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Primero el producto vectorial, después las derivadas. Derivar un producto vectorial componente a componente solo funciona una vez que se tienen las componentes, así que se evalúa el determinante

   $\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}$

   La alternativa — usar la regla del producto $\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B$ — es válida, pero aquí resulta más larga.

2. 2

   Se desarrolla el determinante componente a componente.

   $\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz$
   $\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz$
   $\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy$

   de donde

   $\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k$

   El cambio de signo delante del término en $\mathbf j$ forma parte del desarrollo por cofactores y es el descuido más frecuente.

3. 3

   Se deriva respecto de $x$, tratando $y$ y $z$ como constantes.

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k$

   La componente $\mathbf i$ no contiene ninguna $x$, así que desaparece de inmediato.

4. 4

   Se deriva el resultado respecto de $y$.

   $\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k$

   Todos los términos supervivientes eran lineales, así que la derivada segunda es un vector constante: la respuesta es $-\mathbf k$ en cualquier punto, incluido $(1,2,1)$. Las coordenadas del punto nunca hicieron falta, y conviene decirlo explícitamente al responder.

5. 5

   Comprobación con el teorema de Clairaut invirtiendo el orden. Derivando primero respecto de $y$ se obtiene $3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k$, y después respecto de $x$ queda $-\mathbf k$. Los dos órdenes coinciden, como debe ocurrir en un campo vectorial polinómico (y por tanto suave).