Calculus · real student question

Sean A = x i + y j - z k y B = 3x i + 2y j + z k. Calcular la derivada parcial segunda mixta de A × B respecto de y y luego de x, evaluada en el punto (1, 2, 1).

Question

Sean

A⃗=x i+y j−z k,B⃗=3x i+2y j+z k\vec A=x\,\mathbf i+y\,\mathbf j-z\,\mathbf k,\qquad \vec B=3x\,\mathbf i+2y\,\mathbf j+z\,\mathbf k

Calcular

∂2(A⃗×B⃗)∂y ∂x\frac{\partial^{2}\left(\vec A\times\vec B\right)}{\partial y\,\partial x}

en el punto (1,2,1)(1,2,1).

Step-by-step solution

  1. Primero el producto vectorial, después las derivadas. Derivar un producto vectorial componente a componente solo funciona una vez que se tienen las componentes, así que se evalúa el determinante

    A⃗×B⃗=∣ijkxy−z3x2yz∣\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}

    La alternativa — usar la regla del producto ∂x(A⃗×B⃗)=∂xA⃗×B⃗+A⃗×∂xB⃗\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B — es válida, pero aquí resulta más larga.

  2. Se desarrolla el determinante componente a componente.

    i: (y)(z)−(−z)(2y)=yz+2yz=3yz\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz
    j: −[(x)(z)−(−z)(3x)]=−[xz+3xz]=−4xz\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz
    k: (x)(2y)−(y)(3x)=2xy−3xy=−xy\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy

    de donde

    A⃗×B⃗=3yz i−4xz j−xy k\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k

    El cambio de signo delante del término en j\mathbf j forma parte del desarrollo por cofactores y es el descuido más frecuente.

  3. Se deriva respecto de xx, tratando yy y zz como constantes.

    ∂∂x(3yz i−4xz j−xy k)=0 i−4z j−y k\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k

    La componente i\mathbf i no contiene ninguna xx, así que desaparece de inmediato.

  4. Se deriva el resultado respecto de yy.

    ∂∂y(−4z j−y k)=0 j−1 k=−k\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k

    Todos los términos supervivientes eran lineales, así que la derivada segunda es un vector constante: la respuesta es −k-\mathbf k en cualquier punto, incluido (1,2,1)(1,2,1). Las coordenadas del punto nunca hicieron falta, y conviene decirlo explícitamente al responder.

  5. Comprobación con el teorema de Clairaut invirtiendo el orden. Derivando primero respecto de yy se obtiene 3z i−x k3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k, y después respecto de xx queda −k-\mathbf k. Los dos órdenes coinciden, como debe ocurrir en un campo vectorial polinómico (y por tanto suave).

Answer

−k-\mathbf k

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