Calcula el límite de (2x² + x − 3)/|x − 1| cuando x tiende a 1, o demuestra que no existe.

Step-by-step solution

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   Confirma la indeterminación. En $x=1$ el numerador vale $2+1-3=0$ y el denominador es $|0|=0$, así que la expresión es $\tfrac00$ y sustituir no aporta nada. A diferencia del mismo numerador evaluado en $x=-2$, aquí el punto límite es el cero del valor absoluto, así que la respuesta será cualitativamente distinta.

2. 2

   Factoriza el numerador separando el término central. Para $2x^{2}+x-3$ busca dos números cuyo producto sea $2\times(-3)=-6$ y cuya suma sea $1$: son $3$ y $-2$. Entonces

   $2x^{2}+3x-2x-3=x(2x+3)-1(2x+3)=(x-1)(2x+3).$

   El factor $(x-1)$ coincide con lo que hay dentro del valor absoluto, y eso es precisamente lo que hace necesario el análisis lateral.

3. 3

   Calcula el límite por la izquierda. Para $x<1$, $x-1<0$, así que $|x-1|=-(x-1)$ y

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{-(x-1)}=-(2x+3)\ \longrightarrow\ -(2+3)=-5.$

   Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-5$.

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   Calcula el límite por la derecha. Para $x>1$, $x-1>0$, así que $|x-1|=x-1$ y

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3\ \longrightarrow\ 2+3=5.$

   Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=5$. Fíjate en que el patrón de signos es la imagen especular del caso anterior: se ha intercambiado el lado en el que el numerador es positivo.

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   Concluye. Como $-5\ne5$, el límite bilateral no existe; la función tiene un salto de altura $10$ en $x=1$. Contrasta con $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$, donde el denominador no es nulo y el límite vale simplemente $\tfrac33=1$. La lección: un valor absoluto solo causa problemas cuando su argumento se anula en el punto en cuestión.