Hallar el límite cuando x tiende a −4 de (x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4).

Step-by-step solution

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   Sustituir primero para clasificar el límite. Numerador: $(-4)^2+5(-4)+4=16-20+4=0$. Denominador: $(-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$. La forma es $\tfrac00$, lo que significa que en ambos se esconde un factor común $(x+4)$.

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   Factorizar el numerador. Dos números cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ son $1$ y $4$: $x^2+5x+4=(x+1)(x+4).$

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   Factorizar el denominador. Dos números cuyo producto es $-4$ y cuya suma es $3$ son $4$ y $-1$: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$

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   Cancelar el factor común. Para $x\ne-4$, $\frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}.$ Cancelar es legítimo porque un límite nunca evalúa la función en el punto mismo.

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   Sustituir en la forma reducida. $\lim_{x\to-4}\frac{x+1}{x-1}=\frac{-4+1}{-4-1}=\frac{-3}{-5}=\frac35.$ Probar $x=-4.001$ y $x=-3.999$ en el cociente original da $0.60008$ y $0.59992$, que encierran a $0.6$ como se esperaba.