Hallar la derivada de f(t) = t · sen(3t).

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar la estructura como un producto. $f$ es el producto de $u = t$ por $v = \sin(3t)$, así que se aplica la regla del producto:

   $\frac{d}{dt}\left[uv\right] = u'v + uv'$

   Ninguno de los dos factores se puede simplificar previamente, así que no hay atajo que la evite.

2. 2

   Derivar el factor simple.

   $u = t \quad\Longrightarrow\quad u' = 1$

3. 3

   Derivar el factor compuesto con la regla de la cadena. $\sin(3t)$ es la función exterior $\sin$ aplicada a la función interior $3t$, cuya derivada es $3$:

   $v = \sin(3t) \quad\Longrightarrow\quad v' = 3\cos(3t)$

   Olvidar ese factor $3$ es aquí el error más frecuente.

4. 4

   Montar la regla del producto.

   $f'(t) = (1)\sin(3t) + t\left(3\cos(3t)\right) = \sin(3t) + 3t\cos(3t)$

5. 5

   Verificar numéricamente. En $t = 0.7$: la fórmula da $\sin(2.1) + 2.1\cos(2.1) = 0.863209 - 1.060177 = -0.196967$. Una diferencia central de $f$ en $t = 0.7$ con paso $10^{-6}$ devuelve $-0.196967$: coinciden hasta la sexta cifra decimal. Fíjate en que $f'(0) = \sin 0 + 0 = 0$, coherente con que $t\sin 3t \approx 3t^2$ cerca del origen y que por tanto tenga allí un mínimo plano.