Calcula el límite de n² por (1 − cos(2/n)) cuando n tiende a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Nombra la forma indeterminada. Cuando $n\to\infty$, $n^2\to\infty$ mientras que $1-\cos\frac{2}{n}\to 0$, así que el producto es del tipo $\infty\cdot 0$ y hay que reescribirlo antes de poder leer ningún límite.

2. 2

   Sustituye por una variable que tiende a cero. Sea $u=\frac{2}{n}$, de modo que $n=\frac{2}{u}$ y $u\to 0^+$. Entonces $n^2\left(1-\cos\frac{2}{n}\right)=\frac{4}{u^2}\left(1-\cos u\right)=4\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}$.

3. 3

   Recuerda el límite estándar acompañante. $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$. Se deduce de la identidad del ángulo mitad $1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$ junto con $\lim\frac{\sin t}{t}=1$.

4. 4

   Combina las piezas. El límite es $4\cdot\frac{1}{2}=2$.

5. 5

   Contrasta con una serie. Como $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$, se obtiene $1-\cos\frac{2}{n}\approx\frac{2}{n^2}$, y al multiplicar por $n^2$ queda $2$.

6. 6

   Comprobación numérica. En $n=10^{5}$ la expresión da $1.99999999993$, lo que confirma el límite.