Hallar la integral indefinida de 2 dividido entre 1 menos x al cuadrado.

Step-by-step solution

1. 1

   Factorizar el denominador. $1-x^2=(1-x)(1+x)$: dos factores lineales distintos, que es justo el caso en que las fracciones parciales producen dos constantes simples. Nótese el orden $(1-x)$, no $(x-1)$: conservar los signos tal como están escritos evita un menos extra más adelante.

2. 2

   Plantear la descomposición en fracciones parciales. Se escribe

   $\frac{2}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}$

   y se eliminan los denominadores:

   $2=A(1+x)+B(1-x)=(A+B)+(A-B)x$

3. 3

   Igualar coeficientes. El lado izquierdo no tiene término en $x$ y su constante es $2$, así que

   $A-B=0,\qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad A=B=1$

   Por lo tanto $\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}$.

4. 4

   Integrar cada pieza, atendiendo a la derivada interior.

   $\int\frac{dx}{1-x}=-\ln|1-x|,\qquad \int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|$

   El signo menos de la primera viene de la regla de la cadena: el interior $1-x$ tiene derivada $-1$. Olvidarlo es el tropiezo principal de esta integral.

5. 5

   Combinar los logaritmos.

   $\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln|1+x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$

   En el intervalo $|x|<1$ esto es lo mismo que $2\operatorname{artanh}(x)+C$.

6. 6

   Derivar para comprobar.

   $\frac{d}{dx}\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}$

   Se recupera el integrando original, lo que confirma la respuesta.