Deriva y = 8x⁵ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Pon los cuatro términos en la forma $cx^n$. Solo el tercer término necesita trabajo:

   $\frac4x=4x^{-1}$

   así que $y=8x^5-3x^{-4}+4x^{-1}-9$. Hacer esta conversión de entrada significa que una única regla se ocupa de toda la función.

2. 2

   Deriva el término principal.

   $\frac{d}{dx}\left(8x^5\right)=8\cdot 5x^4=40x^4$

   El exponente $5$ pasa a ser un factor y baja a $4$.

3. 3

   Deriva $-3x^{-4}$.

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-4-1}=12x^{-5}$

   Restar uno a $-4$ da $-5$: el exponente se vuelve más negativo, y este es el paso que más a menudo se invierte por error.

4. 4

   Deriva $4x^{-1}$ y observa que la constante muere.

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

   La derivada de cualquier constante es cero porque una recta horizontal tiene pendiente cero.

5. 5

   Monta la respuesta con exponentes positivos.

   $\frac{dy}{dx}=40x^4+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   Comprueba en $x=1$ y fíjate en el dominio. La fórmula da $40+12-4=48$, que coincide con un cociente incremental numérico de la función original en $x=1$. Tanto $y$ como $y'$ quedan indefinidas en $x=0$, así que el resultado vale para $x\neq 0$.