Sea h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³. ¿Qué expresión es equivalente a h′(x)?

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar que la estructura exterior es un producto. $h$ es $u\cdot v$ con

   $u=(2x+1)^{5},\qquad v=\left(x^{2}-1\right)^{3},$

   así que se aplica la regla del producto: $h'=u'v+uv'$. Las opciones (C) y (D) tienen un solo término, por lo que ya están descartadas: multiplican las dos derivadas en lugar de aplicar la regla del producto.

2. 2

   Derivar u con la regla de la cadena. Se baja el exponente, se reduce en una unidad y se multiplica por la derivada de lo de dentro:

   $u'=5(2x+1)^{4}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=5(2x+1)^{4}\cdot 2=10(2x+1)^{4}.$

   Ese factor $2$ es lo que distingue la opción (B) de la (A).

3. 3

   Derivar v con la regla de la cadena.

   $v'=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}-1\right)=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot 2x=6x\left(x^{2}-1\right)^{2}.$

4. 4

   Montar la regla del producto.

   $h'(x)=10(2x+1)^{4}\left(x^{2}-1\right)^{3}+6x(2x+1)^{5}\left(x^{2}-1\right)^{2},$

   que es exactamente la opción (B).

5. 5

   Ver por qué la (A) es la respuesta incorrecta tentadora. La opción (A) es lo que se obtiene al olvidar las dos derivadas interiores: usa $5$ y $3$ en lugar de $10$ y $6x$. Siempre que lo de dentro de un paréntesis sea algo más complicado que $x$, esa derivada interior tiene que aparecer.

6. 6

   Verificar simbólicamente. Al derivar la expresión original y restarle la opción (B), el resultado se simplifica exactamente a $0$, lo que confirma la elección. Como comprobación adicional, se puede extraer el factor común $(2x+1)^4(x^2-1)^2$ y obtener $h'(x)=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left[10(x^2-1)+6x(2x+1)\right]=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left(22x^2+6x-10\right)$.