Evalúa 1/Gamma(3/5) por la suma desde n = 1 hasta infinito de (1/10)^(8n/5 + 1) dividido entre Gamma(8n/5 + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la forma de la serie. El sumando $\dfrac{z^{\alpha n+1}}{\Gamma(\alpha n+1)}$ con $z=\tfrac{1}{10}$ y $\alpha=\tfrac85$ es un término de tipo Mittag-Leffler. No existe forma cerrada elemental, así que el camino práctico es sumar numéricamente — y como $z<1$ mientras $\Gamma(\alpha n+1)$ crece de forma superexponencial, solo un puñado de términos tiene peso real.

2. 2

   Calcula el término $n=1$. El exponente es $\tfrac85(1)+1=2.6$, así que el término vale $\dfrac{10^{-2.6}}{\Gamma(2.6)}=\dfrac{2.511886\times10^{-3}}{1.4296246}=1.757025\times10^{-3}$.

3. 3

   Calcula los términos $n=2$ y $n=3$. Para $n=2$ el exponente es $4.2$: $\dfrac{10^{-4.2}}{\Gamma(4.2)}=\dfrac{6.309573\times10^{-5}}{7.7566895}=8.134364\times10^{-6}$. Para $n=3$ el exponente es $5.8$: $\dfrac{10^{-5.8}}{\Gamma(5.8)}=\dfrac{1.584893\times10^{-6}}{85.621738}=1.851041\times10^{-8}$.

4. 4

   Comprueba que la cola es despreciable. El término $n=4$ vale $2.58\times10^{-11}$ y el $n=5$ vale $2.48\times10^{-14}$; cada término sucesivo baja unos dos o tres órdenes de magnitud. Por lo tanto truncar después de $n=3$ fija la suma mucho más allá de seis cifras significativas: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(1.6n+1)}}{\Gamma(1.6n+1)}=1.765178\times10^{-3}.$

5. 5

   Divide entre $\Gamma(3/5)$. Con $\Gamma(0.6)=1.4891922$, $\frac{1.765178\times10^{-3}}{1.4891922}=1.185326\times10^{-3}.$

6. 6

   Enuncia el valor. La expresión completa vale $0.00118532$ con seis cifras significativas; el término $n=1$ por sí solo ya aporta el 99.5 por ciento.