Evalúa la integral desde θ = 0 hasta 2π de la integral desde r = 0 hasta a(1 − cos θ) de r al cubo por coseno cuadrado de θ, dr dθ.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la región. El límite superior de $r$, $r=a(1-\cos\theta)$, describe una cardioide con su cúspide en el origen apuntando a lo largo del semieje $x$ positivo, recorrida una sola vez mientras $\theta$ va de $0$ a $2\pi$.

2. 2

   Integra primero en r, tratando cos^2(theta) como una constante. $\int_0^{a(1-\cos\theta)} r^3\,dr = \frac{\left(a(1-\cos\theta)\right)^4}{4} = \frac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4,$ de modo que el problema se reduce a $\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,(1-\cos\theta)^4\,d\theta.$

3. 3

   Desarrolla la cuarta potencia con el binomio. $(1-\cos\theta)^4 = 1-4\cos\theta+6\cos^2\theta-4\cos^3\theta+\cos^4\theta$, así que al multiplicar por $\cos^2\theta$: $\cos^2\theta-4\cos^3\theta+6\cos^4\theta-4\cos^5\theta+\cos^6\theta.$

4. 4

   Descarta las potencias impares. A lo largo de un periodo completo, $\int_0^{2\pi}\cos^{2k+1}\theta\,d\theta = 0$, de modo que los términos con $\cos^3$ y $\cos^5$ no aportan nada. Este es el paso que más trabajo ahorra.

5. 5

   Introduce los valores de Wallis para las potencias pares. $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$, $\int_0^{2\pi}\cos^4 = 2\pi\cdot\tfrac38 = \tfrac{3\pi}{4}$, $\int_0^{2\pi}\cos^6 = 2\pi\cdot\tfrac{5}{16} = \tfrac{5\pi}{8}$. Sumando con sus coeficientes: $\pi+6\cdot\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{8} = \frac{8\pi+36\pi+5\pi}{8} = \frac{49\pi}{8}.$

6. 6

   Multiplica por el factor de delante. $\frac{a^4}{4}\cdot\frac{49\pi}{8} = \frac{49\pi a^4}{32}.$

7. 7

   Verifica numéricamente. Con $a=1.3$, la cuadratura de $\tfrac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4\cos^2\theta$ sobre $[0,2\pi]$ da $13.7394511287$, y $\tfrac{49\pi(1.3)^4}{32} = 13.7394511287$ - coinciden en diez decimales.