Calcula la suma infinita de 2ⁿ/n! para n desde 0 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma que la serie converge antes de sumarla. Por el criterio del cociente,

   $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!}=\frac{2}{n+1}\longrightarrow 0<1$

   de modo que la serie converge absolutamente, tanto en este caso como con cualquier otra base en lugar de $2$: los factoriales acaban siempre imponiéndose al crecimiento geométrico.

2. 2

   Identifica la serie con un desarrollo conocido. La función exponencial tiene la serie de Maclaurin

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad \text{válida para todo número real }x$

   La serie dada es exactamente esta con $x=2$, así que no hay que sumar nada: basta con reconocerla.

3. 3

   Lee el valor.

   $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}\approx 7.389056$

4. 4

   Vigila el índice inicial. Si la suma empieza en $n=1$, falta el término $n=0$, que vale $\tfrac{2^0}{0!}=1$:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1\approx 6.389056$

   Este es el único detalle que decide la respuesta, y conviene enunciarlo de forma explícita siempre que el límite inferior no esté escrito con claridad.

5. 5

   Comprueba con sumas parciales. Sumando los primeros términos: $1+2+2+1.3333+0.6667+0.2667+0.0889+0.0254=7.3809$, ya a menos de $0.0082$ de $e^2=7.389056$. La cola restante está dominada por $\tfrac{2^8}{8!}=0.00635$, que coincide con la diferencia observada $\checkmark$.