Evalúa la integral de (x + 3)/(x² − 5x + 6) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Factorizar el denominador para elegir la técnica adecuada.

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   Dos factores lineales distintos significan que el integrando se descompone en dos fracciones simples con numeradores constantes — sin las complicaciones de raíces repetidas ni de cuadráticas irreducibles. El grado del numerador ($1$) ya es menor que el del denominador ($2$), así que no hace falta una división larga previa.

2. 2

   Plantear la descomposición en fracciones parciales.

   $\frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

   Multiplicar todo por $(x-2)(x-3)$ elimina los denominadores:

   $x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$

3. 3

   Hallar A y B sustituyendo las raíces. El camino más rápido es introducir los valores que anulan un paréntesis cada vez. Tomando $x = 3$:

   $6 = B(3 - 2) \ \Longrightarrow \ B = 6$

   Tomando $x = 2$:

   $5 = A(2 - 3) \ \Longrightarrow \ A = -5$

   (Igualar coeficientes da el mismo sistema $A + B = 1$, $-3A - 2B = 3$.)

4. 4

   Verificar la descomposición antes de integrar. Con $A = -5$ y $B = 6$:

   $\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{-5(x-3) + 6(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} \ \checkmark$

   Comprobar aquí cuesta una línea y detecta los errores de signo antes de que se propaguen a la integral.

5. 5

   Integrar cada término. Cada pieza es de la forma $\int \frac{k}{x - a}\,dx = k\ln|x - a|$:

   $\int \left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right) dx = -5\ln|x - 2| + 6\ln|x - 3| + C$

   Los valores absolutos importan: la primitiva es válida por separado en cada uno de los tres intervalos $x < 2$, $2 < x < 3$, $x > 3$.

6. 6

   Derivar de vuelta como comprobación final.

   $\frac{d}{dx}\left(-5\ln|x-2| + 6\ln|x-3|\right) = \frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{x+3}{x^2 - 5x + 6} \ \checkmark$

   Una comprobación numérica en $x = 5$ da $\frac{8}{6} = 1.3\overline{3}$ con ambas formas. La respuesta también se puede escribir como $\ln\left|\frac{(x-3)^6}{(x-2)^5}\right| + C$.