Para y = 2cos(x), indica el dominio y halla la derivada.

Step-by-step solution

1. 1

   Determina el dominio. La función coseno está definida para toda entrada real (no hay división, ni raíz de índice par, ni logaritmo que la restrinjan) y multiplicar por $2$ no cambia nada. Por tanto

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

2. 2

   Saca la constante fuera. La regla del múltiplo constante dice que $\dfrac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\,f'(x)$, así que el $2$ simplemente espera afuera:

   $y'=2\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos x\right)$

3. 3

   Deriva el coseno. La derivada estándar lleva un signo menos:

   $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

   Perder ese signo menos es el error más frecuente con las derivadas trigonométricas. (El argumento es simplemente $x$, así que aquí no hace falta ningún factor de la regla de la cadena.)

4. 4

   Combina.

   $y'=2(-\sin x)=-2\sin x$

5. 5

   Verifica numérica y estructuralmente. Una diferencia central con $h=10^{-6}$ coincide con $-2\sin x$ en $x=0.3$, $1.4$ y $2.9$ con un margen de $10^{-6}$ ✓. Comprobación estructural: $y=2\cos x$ tiene máximos en $x=0,2\pi,\ldots$ y mínimos en $x=\pi,\ldots$, y en efecto $y'=-2\sin x$ se anula exactamente en cada múltiplo de $\pi$ ✓. El recorrido de $y'$ es $[-2,2]$, así que las pendientes más pronunciadas de la curva son $\pm2$, y se alcanzan en $x=\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{3\pi}{2}$.