Calcula la integral de 0 a pi/2 de la raíz cuadrada de (1 + tan²(0.661) sen²(b)) respecto de b.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la forma del integrando. La integral elíptica completa de segunda especie es

   $E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\;d\theta$

   Nuestro integrando lleva un signo más, así que encaja en la plantilla con $k^2=-\tan^2(0.661)$ - un parámetro negativo, equivalentemente un módulo imaginario $k=i\tan(0.661)$.

2. 2

   Calcula la constante una sola vez y con cuidado. Todo lo que sigue depende de este número:

   $\tan(0.661)=0.7777085,\qquad \tan^2(0.661)=0.6048305$

   (El ángulo $0.661$ está en radianes. Usar grados aquí es la forma más común de llegar a un resultado equivocado.)

3. 3

   Reescribe la integral con el número ya sustituido.

   $I=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+0.6048305\,\sin^2 b}\;db=E\!\left(-0.6048305\right)$

   donde $E$ está escrita con la convención del parámetro $m=k^2$.

4. 4

   Acota la respuesta antes de calcularla. Como $0\le\sin^2 b\le 1$, el integrando queda entre $1$ y $\sqrt{1.6048305}=1.2668$. Al multiplicar por la longitud del intervalo $\pi/2=1.5708$ se obtiene

   $1.5708\le I\le 1.9899$

   Cualquier resultado numérico fuera de esa ventana es un error.

5. 5

   Evalúa numéricamente. La regla compuesta de Simpson en $[0,\pi/2]$ con una malla fina converge a

   $I\approx 1.7865275$

   Este valor cae cómodamente dentro de la cota $[1.5708,1.9899]$ y apenas por encima del punto medio, como era de esperar, porque $\sin^2 b$ pasa más parte del intervalo cerca de $1$ de lo que sugeriría una ponderación lineal.