Resuelve la ecuación diferencial y'' + 2y' + y = e^(−x).

Step-by-step solution

1. 1

   Halla las raíces características. Para $y'' + 2y' + y = 0$ la ecuación característica es

   $r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0$

   con la raíz repetida $r = -1$. Una raíz doble aporta tanto $e^{-x}$ como $xe^{-x}$, así que

   $y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

2. 2

   Mide hasta qué profundidad llega la resonancia. El término forzante $e^{-x}$ coincide con la raíz $-1$, y esa raíz tiene multiplicidad $2$. La regla dice: multiplica la prueba por $x^{m}$, donde $m$ es la multiplicidad. Aquí $m = 2$, así que tanto $Ae^{-x}$ como $Axe^{-x}$ darían cero al sustituir: solo $y_p = Ax^2e^{-x}$ puede sobrevivir.

3. 3

   Deriva dos veces la función de prueba.

   $y_p' = A e^{-x}\left(2x - x^2\right), \qquad y_p'' = A e^{-x}\left(x^2 - 4x + 2\right)$

4. 4

   Sustituye y despeja A.

   $y_p'' + 2y_p' + y_p = Ae^{-x}\left[(x^2 - 4x + 2) + (4x - 2x^2) + x^2\right] = 2Ae^{-x}$

   Los términos en $x^2$ se cancelan ($1 - 2 + 1 = 0$) y los términos en $x$ también ($-4 + 4 = 0$), de modo que solo queda la constante $2$. Imponer $2Ae^{-x} = e^{-x}$ da $A = \tfrac12$.

5. 5

   Escribe y comprueba la solución general.

   $y = e^{-x}\left(C_1 + C_2x + \tfrac{1}{2}x^2\right)$

   Verificación con $y_p = \tfrac12x^2e^{-x}$: $y_p' = \left(x - \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$ y $y_p'' = \left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$, así que el miembro izquierdo vale $e^{-x}\left[\left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right) + \left(2x - x^2\right) + \tfrac{x^2}{2}\right] = e^{-x}$. Correcto.