Resolver la ecuación diferencial (x + y + 1) dx + (2x + 2y + 5) dy = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Probar la exactitud antes de cualquier otra cosa. Se escribe $M=x+y+1$ y $N=2x+2y+5$. Entonces

   $\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2$

   Son distintas, así que la ecuación no es exacta y no hay ninguna función potencial que leer directamente.

2. 2

   Detectar la pista estructural. Ambos coeficientes son funciones de la única combinación $x+y$:

   $M=(x+y)+1,\qquad N=2(x+y)+5$

   Siempre que una ecuación dependa de $x$ e $y$ solo a través de $x+y$, la sustitución $u=x+y$ la reduce a una ecuación separable en $u$ y $x$.

3. 3

   Cambiar de variable. Se pone $u=x+y$, de modo que $y=u-x$ y $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-1$. Dividiendo la ecuación original entre $dx$ y despejando $y'$,

   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y+1}{2x+2y+5}=-\frac{u+1}{2u+5}$

   de donde

   $\frac{du}{dx}-1=-\frac{u+1}{2u+5}\ \Longrightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac{2u+5-(u+1)}{2u+5}=\frac{u+4}{2u+5}$

4. 4

   Separar y descomponer la fracción impropia. Pasando todo lo que depende de $u$ a un lado,

   $\frac{2u+5}{u+4}\,du=dx,\qquad \frac{2u+5}{u+4}=\frac{2(u+4)-3}{u+4}=2-\frac{3}{u+4}$

   Reescribir como «polinomio más fracción propia» es lo que hace integrable el lado izquierdo en forma cerrada.

5. 5

   Integrar ambos lados.

   $\int\left(2-\frac{3}{u+4}\right)du=\int dx\ \Longrightarrow\ 2u-3\ln|u+4|=x+C$

6. 6

   Deshacer la sustitución y ordenar. Con $u=x+y$,

   $2(x+y)-3\ln|x+y+4|=x+C\ \Longrightarrow\ x+2y-3\ln|x+y+4|=C$

7. 7

   Verificar por derivación implícita. Para $F=x+2y-3\ln|x+y+4|$,

   $F_{x}=1-\frac{3}{x+y+4},\qquad F_{y}=2-\frac{3}{x+y+4}$

   y $F_{x}N-F_{y}M=0$ de forma idéntica (comprobado numéricamente en $(0.5,1.2)$, $(2,-0.3)$ y $(-1,3)$ con precisión de máquina), así que las curvas de nivel de $F$ son exactamente las curvas solución. De manera equivalente, $F_{x}/M=F_{y}/N=\dfrac{1}{x+y+4}$, lo que muestra que $\mu=\dfrac{1}{x+y+4}$ es el factor integrante escondido detrás de la sustitución.