La solución de la ecuación diferencial y′ + y/x = 18x + 4 se puede escribir como kx² + hx − sy + C/x = 0. Si s es un entero positivo menor que 3, hallar k, h y s.

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar el tipo de ecuación y construir el factor integrante. La ecuación es lineal de primer orden en la forma estándar $y'+P(x)y=Q(x)$ con $P(x)=1/x$ y $Q(x)=18x+4$. El factor integrante es

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int dx/x}=e^{\ln|x|}=x.$

   Todo el sentido de $\mu$ es que al multiplicar por él el lado izquierdo se vuelve una derivada exacta.

2. 2

   Multiplicar toda la ecuación y reconocer la regla del producto.

   $xy'+y=18x^{2}+4x.$

   El lado izquierdo es exactamente $\dfrac{d}{dx}(xy)$: esta es la comprobación de que el factor integrante se calculó bien. Entonces

   $(xy)'=18x^{2}+4x.$

3. 3

   Integrar una vez ambos lados.

   $xy=\int(18x^{2}+4x)\,dx=6x^{3}+2x^{2}+C,$

   y al dividir entre $x$,

   $y=6x^{2}+2x+\frac{C}{x}.$

4. 4

   Reordenar hasta la forma pedida. Pasando $y$ al lado izquierdo,

   $6x^{2}+2x-y+\frac{C}{x}=0.$

   Comparar término a término con $kx^{2}+hx-sy+C/x=0$ obliga a $k=6$, $h=2$, $s=1$. La condición «$s$ es un entero positivo menor que $3$» es la que fija la normalización: toda la ecuación podría escalarse por cualquier constante, y solo $s=1$ (y no $s=2$, que exigiría $k=12$, $h=4$) deja el coeficiente de $C/x$ igual a $1$ tal como está escrito.

5. 5

   Verificar sustituyendo de vuelta. Con $y=6x^{2}+2x+Cx^{-1}$ se obtiene $y'=12x+2-Cx^{-2}$, de modo que

   $y'+\frac{y}{x}=12x+2-\frac{C}{x^{2}}+6x+2+\frac{C}{x^{2}}=18x+4.$

   Los términos con $C$ se cancelan para todo $C$, lo que confirma la solución general. Numéricamente, tomando $C=1.7$ y $x=2.3$ se obtiene $y'+y/x=45.4$, y $18(2.3)+4=45.4$.