Halla el límite de 4 / (x² · 2^(1/x)) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Observa que $1/x$ cambia de signo al pasar por cero. Cuando $x\to 0^{+}$, $1/x\to+\infty$ y $2^{1/x}\to+\infty$; cuando $x\to 0^{-}$, $1/x\to-\infty$ y $2^{1/x}\to 0^{+}$. Como ese factor se comporta de manera opuesta a cada lado, los límites laterales hay que calcularlos por separado — dar por hecho que hay una única respuesta es la trampa de este ejercicio.

2. 2

   Límite por la derecha: sustituye $t=1/x$. Con $x\to 0^{+}$ se tiene $t\to+\infty$ y $x^2=1/t^2$, así que

   $\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot 2^{t}}=\frac{4t^2}{2^{t}}$

   La sustitución convierte un incómodo denominador de tipo $0\cdot\infty$ en una carrera conocida entre un polinomio y una exponencial.

3. 3

   La exponencial gana, así que el límite por la derecha es 0. Para cualquier potencia fija, $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{t^{n}}{2^{t}}=0$ (dos aplicaciones de la regla de L'Hôpital resuelven el caso $n=2$). Por lo tanto

   $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=0$

4. 4

   Límite por la izquierda: sustituye $t=-1/x$. Ahora $x\to 0^{-}$ da $t\to+\infty$, $x^2=1/t^2$ y $2^{1/x}=2^{-t}=\dfrac{1}{2^{t}}$, de modo que la expresión se convierte en

   $\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{2^{t}}}=4t^2 2^{t}\to+\infty$

   Los dos factores del denominador se encogen hacia cero, así que la fracción se dispara.

5. 5

   Concluye que el límite bilateral no existe. Como

   $\lim_{x\to 0^{+}}=0\neq +\infty=\lim_{x\to 0^{-}}$

   los dos límites laterales no coinciden, y el límite bilateral existe únicamente cuando coinciden.

6. 6

   Revisa los números. En $x=0.02$ el valor es $8.9\times 10^{-12}$; en $x=-0.02$ es $1.1\times 10^{19}$. La misma expresión, evaluada a la misma distancia de cero por cada lado, difiere en treinta órdenes de magnitud — una confirmación muy gráfica de que no existe un único valor límite.