Calculus · real student question

Hallar las dos derivadas parciales primeras de z = ln( (x - √(x² - y²)) / (x + √(x² - y²)) ).

Question

Hallar las dos derivadas parciales primeras ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} y ∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y} de

z=ln⁡ ⁣(x−x2−y2x+x2−y2)z=\ln\!\left(\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{x+\sqrt{x^2-y^2}}\right)

Step-by-step solution

  1. Primero se descompone el logaritmo de un cociente en una diferencia de logaritmos. Simplificar antes de derivar ahorra todo un cálculo con la regla del cociente. Escribiendo u=x2−y2u=\sqrt{x^2-y^2},

    z=ln⁡(x−u)−ln⁡(x+u)z=\ln(x-u)-\ln(x+u)

    Conviene además anotar de una vez las dos parciales del radical interior, porque ambas derivadas las necesitan:

    ux=xx2−y2=xu,uy=−yx2−y2=−yuu_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}

    Una relación más hará casi todo el trabajo después: x2−u2=x2−(x2−y2)=y2x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2.

  2. Se deriva respecto de xx, tratando yy como constante. La regla de la cadena aplicada a cada logaritmo da

    ∂z∂x=1−uxx−u−1+uxx+u=1−xux−u−1+xux+u\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}

    No conviene parar aquí y suponer que los dos trozos, de aspecto simétrico, se cancelan: no lo hacen. Hay que simplificar cada uno por separado.

  3. Se simplifica cada trozo por separado. Se ponen los numeradores sobre uu:

    1−xux−u=u−xux−u=−(x−u)u(x−u)=−1u\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}

    1+xux+u=u+xux+u=x+uu(x+u)=1u\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}

    Así que el primer término es −1u-\tfrac1u y el segundo es +1u+\tfrac1u, y la derivada es su diferencia:

    ∂z∂x=−1u−1u=−2u=−2x2−y2\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}

    Este es el paso en el que un descuido de signo resulta fatal: restar +1u+\tfrac1u de −1u-\tfrac1u da −2u-\tfrac2u, no 00.

  4. Se deriva respecto de yy, tratando xx como constante. Ahora solo uu depende de yy:

    ∂z∂y=−uyx−u−uyx+u=y/ux−u+y/ux+u=yu(1x−u+1x+u)\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)

    Los dos términos acaban siendo positivos porque cada uno lleva el mismo factor −uy=+yu-u_y=+\dfrac{y}{u}: el signo menos que viene de la regla del cociente y el que viene de uy=−y/uu_y=-y/u se cancelan entre sí.

  5. Se combinan las dos fracciones usando x2−u2=y2x^2-u^2=y^2.

    1x−u+1x+u=(x+u)+(x−u)x2−u2=2xy2\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}

    Por tanto

    ∂z∂y=yu⋅2xy2=2xy u=2xyx2−y2\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}

  6. Se comprueban los dos resultados numéricamente. Tomando x=3x=3, y=2y=2, se tiene u=9−4=5≈2.2360680u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680. Una diferencia centrada con paso 10−610^{-6} da

    zx≈−0.8944272,zy≈1.3416408z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408

    y las fórmulas dan −2/5=−0.8944272-2/\sqrt5=-0.8944272 y 2(3)/(25)=1.34164082(3)/(2\sqrt5)=1.3416408. Coinciden hasta la séptima cifra decimal. (Un error muy frecuente, zx=0z_x=0, falla esta prueba de inmediato: zz sí cambia cuando xx se mueve con yy fijo.)

Answer

∂z∂x=−2x2−y2,∂z∂y=2xyx2−y2\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}

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