Calcular la integral indefinida de x^2 por e^x respecto de x.

Step-by-step solution

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   Reconocer el tipo de producto y elegir $u$ para que el polinomio se reduzca. El integrando es un polinomio por una exponencial, la señal clásica de la integración por partes:

   $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   Se toma $u=x^2$ y $dv=e^x\,dx$. La razón es que derivar $x^2$ baja su grado, mientras que $e^x$ no cambia al integrarlo, de modo que cada aplicación de la fórmula acerca a una integral que sí se sabe hacer. La elección contraria ($u=e^x$) subiría la potencia a $x^3$ y empeoraría el problema.

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   Primera aplicación de la fórmula. Con $u=x^2$ y $dv=e^x\,dx$ se tiene $du=2x\,dx$ y $v=e^x$, así que

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$

   La integral que queda tiene la misma forma pero con $x$ en lugar de $x^2$: el grado ha bajado en uno, exactamente como se buscaba.

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   Segunda aplicación, sobre $\int xe^x\,dx$. Se toma $u=x$, $dv=e^x\,dx$, luego $du=dx$ y $v=e^x$:

   $\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$

   En general $\int x^n e^x\,dx$ necesita $n$ pasadas, porque el grado baja en uno cada vez. Aquí $n=2$, de ahí las dos pasadas exactas.

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   Sustituir hacia atrás y simplificar. Al llevar el segundo resultado al primero:

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\big(xe^x-e^x\big)=x^2e^x-2xe^x+2e^x$

   Sacar factor común $e^x$ da la forma compacta

   $\int x^2e^x\,dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$

   No hay que olvidar la constante $C$: se añade una sola vez, al final del todo, y no después de cada pasada.

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   Verificar derivando el resultado. Es la comprobación que siempre está disponible para una integral indefinida. Por la regla del producto,

   $\frac{d}{dx}\Big[e^x\big(x^2-2x+2\big)\Big]=e^x\big(x^2-2x+2\big)+e^x\big(2x-2\big)=e^x\big(x^2-2x+2+2x-2\big)=x^2e^x$

   Los dos términos lineales se cancelan y se recupera exactamente el integrando original, así que la primitiva es correcta.

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   Anotar el patrón para reutilizarlo. La estructura de signos alternados se generaliza:

   $\int x^ne^x\,dx=e^x\left(x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots\pm n!\right)+C$

   Para $n=2$ esto se lee $e^x(x^2-2x+2)+C$, que coincide con lo obtenido. Reconocer el patrón permite escribir directamente $\int x^3e^x\,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$ sin repetir el trabajo tres veces.