Halla la integral de dx / ((x − 1)√(−x² + 2x + 3)).

Step-by-step solution

1. 1

   Completa el cuadrado bajo el radical. El radicando es

   $-x^{2}+2x+3=4-(x-1)^{2}$

   así que la integral solo es real para $|x-1|<2$, es decir, $-1<x<3$, y con $x\neq 1$. Que $(x-1)$ aparezca tanto fuera como dentro es la pista de cuál es la sustitución adecuada.

2. 2

   Usa la sustitución recíproca. Para un integrando de la forma $\dfrac{1}{(x-a)\sqrt{\text{cuadrática}}}$, toma $x-a=\dfrac1t$. Aquí

   $x-1=\frac1t\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{dt}{t^{2}}$

   (Fíjate en el signo menos: derivar $1/t$ da $-1/t^{2}$. Perderlo invierte el signo de toda la respuesta.)

3. 3

   Reescribe el radical. Con $(x-1)^{2}=\tfrac{1}{t^{2}}$,

   $\sqrt{4-(x-1)^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{t^{2}}}=\frac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}$

4. 4

   Arma la integral transformada.

   $I=\int\frac{-\dfrac{dt}{t^{2}}}{\dfrac1t\cdot\dfrac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}}=-\int\frac{|t|}{t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=-\operatorname{sgn}(t)\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}$

   Los engorrosos factores $t^{2}$ se cancelan por completo, que es precisamente el propósito de la sustitución.

5. 5

   Integra la forma estándar y deshaz la sustitución. Como $\displaystyle\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=\frac12\ln\left|2t+\sqrt{4t^{2}-1}\right|+C$, y $2t+\sqrt{4t^{2}-1}=\dfrac{2\operatorname{sgn}(x-1)+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{|x-1|}$, el factor de signo se combina con el logaritmo y produce una única fórmula

   $\boxed{I=-\frac12\ln\left|\frac{2+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|+C}$

   válida tanto en $-1<x<1$ como en $1<x<3$.

6. 6

   Verifica derivando y con una comprobación numérica. Al derivar la respuesta se recupera $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}$. Numéricamente, $\displaystyle\int_{1.5}^{2.5}\frac{dx}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}=0.634036$, y la forma cerrada da $F(2.5)-F(1.5)=0.634036$ ✓; en la otra rama, $\displaystyle\int_{0.2}^{0.8}=-0.713212$ y la fórmula también da $-0.713212$ ✓.

7. 7

   Cuidado con dos trampas de signo. Como $(2+\sqrt{\cdot})(2-\sqrt{\cdot})=(x-1)^{2}$, la forma alternativa $\tfrac12\ln\left|\tfrac{2-\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|$ difiere solo en una constante y es igual de válida; pero la versión sin el signo menos delante es incorrecta en las dos ramas, y usar $dx=+dt/t^{2}$ en lugar de $-dt/t^{2}$ le cambia el signo a toda la primitiva.