Analiza la función f(x) = e^(-alfa·x) · cos(x): halla su valor en 0, el periodo de su oscilación, sus curvas envolventes y cómo el signo de alfa cambia su comportamiento.

Step-by-step solution

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   Separa la función en un factor de amplitud y un factor oscilante. Compárala con la oscilación amortiguada general $Ae^{-\alpha x}\cos(kx + \phi)$: aquí $A = 1$, $k = 1$ y $\phi = 0$. La exponencial controla el tamaño de las oscilaciones; el coseno controla su rapidez. Ninguno de los dos factores altera el papel del otro.

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   Evalúa en el origen.

   $f(0) = e^{0}\cos(0) = 1 \times 1 = 1$

   Así que la curva arranca en su amplitud máxima posible, sea cual sea $\alpha$.

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   Halla el periodo de la oscilación. Los ceros y el patrón de puntos de retorno se repiten cada vez que lo hace $\cos x$, así que

   $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$

   En rigor la función en sí no es periódica salvo que $\alpha = 0$: el patrón se repite, pero el tamaño no.

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   Deduce las curvas envolventes. Como $-1 \le \cos x \le 1$ y $e^{-\alpha x} > 0$, multiplicar toda la cadena preserva la desigualdad:

   $-e^{-\alpha x} \le e^{-\alpha x}\cos x \le e^{-\alpha x}$

   así que la gráfica queda atrapada entre $y = e^{-\alpha x}$ y $y = -e^{-\alpha x}$, y toca alternadamente cada una en $x = n\pi$.

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   Distingue según el signo de α. Si $\alpha > 0$, entonces $e^{-\alpha x} \to 0$ cuando $x \to \infty$ y las oscilaciones decaen a cero: el régimen subamortiguado. Si $\alpha = 0$ la función es exactamente $\cos x$, sin amortiguamiento y genuinamente periódica. Si $\alpha < 0$ la envolvente crece y las oscilaciones se disparan.

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   Comprueba los puntos de contacto con la envolvente. En $x = 0$: $f = 1$ y la envolvente superior vale $e^0 = 1$; se tocan. En $x = \pi$: $\cos\pi = -1$, así que $f(\pi) = -e^{-\alpha\pi}$, tocando la envolvente inferior. Para $\alpha = 0.2$ esto da $f(\pi) = -0.533488$, y los extremos sucesivos se encogen en la razón constante $e^{-0.2\pi} = 0.533488$ en cada medio periodo: la marca distintiva del amortiguamiento exponencial.