Halla el límite de √(36x² + 7x + 49) − 6x cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la forma indeterminada. Cuando $x\to\infty$ la raíz cuadrada se comporta como $\sqrt{36x^2}=6x$, así que la expresión es una diferencia de dos cantidades que se disparan:

   $\sqrt{36x^2+7x+49}\to\infty,\qquad 6x\to\infty\;\Longrightarrow\;\infty-\infty$

   Esa forma no tiene valor por sí sola; no puedes concluir $0$ a partir de «las dos crecen como $6x$», porque lo que importa es la diferencia de las correcciones.

2. 2

   Multiplica por el conjugado. La maniobra estándar para una raíz menos un término lineal es multiplicar y dividir por la suma de esas mismas dos piezas:

   $\sqrt{A}-6x=\frac{\left(\sqrt A-6x\right)\left(\sqrt A+6x\right)}{\sqrt A+6x}=\frac{A-36x^2}{\sqrt A+6x},\qquad A=36x^2+7x+49$

   El numerador pierde por completo su radical:

   $A-36x^2=7x+49$

3. 3

   Divide numerador y denominador entre $x$. Para $x>0$ podemos escribir $\sqrt{36x^2+7x+49}=x\sqrt{36+\tfrac{7}{x}+\tfrac{49}{x^2}}$, de modo que

   $\frac{7x+49}{\sqrt{36x^2+7x+49}+6x}=\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}$

   Sacar $x$ de la raíz como $+x$ (y no $-x$) solo es válido porque $x\to+\infty$; para $x\to-\infty$ el signo cambiaría y la respuesta sería completamente distinta.

4. 4

   Toma el límite de cada pieza. Todos los términos con $\tfrac{1}{x}$ se anulan:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}=\frac{7}{\sqrt{36}+6}=\frac{7}{12}$

5. 5

   Comprueba numéricamente y con la regla general. Sustituyendo valores grandes: en $x=10^4$ la expresión vale $0.583739$, en $x=10^6$ vale $0.583337$, acercándose a $\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ $\checkmark$. Además hay un atajo que conviene recordar: para $\sqrt{a^2x^2+bx+c}-ax$ con $a>0$ el límite siempre es $\tfrac{b}{2a}$, y aquí $\tfrac{7}{2\cdot 6}=\tfrac{7}{12}$.