Sea f dos veces derivable en todo R. ¿Es cierto que para todo ξ existen x1 y x2 con f′(ξ) = (f(x2) − f(x1))/(x2 − x1)? Demostrarlo o dar un contraejemplo.

Step-by-step solution

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   Observar que esto es el recíproco del teorema del valor medio, no el teorema mismo. El teorema del valor medio afirma que toda pendiente de cuerda coincide con algún valor de la derivada. El enunciado de aquí pide lo contrario: que todo valor de la derivada se realice como pendiente de una cuerda. Los recíprocos de teoremas verdaderos exigen una demostración aparte, o un contraejemplo.

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   Localizar el obstáculo. Por el teorema fundamental del cálculo, toda pendiente de cuerda es un promedio de la derivada:

   $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt$

   Un promedio de $f'$ sobre un intervalo de longitud positiva nunca puede superar el supremo de $f'$, y solo puede igualarlo si $f'$ es constante en el intervalo. Por lo tanto, si $f'$ alcanza un máximo estricto en un único punto $\xi$, ese valor $f'(\xi)$ jamás puede ser pendiente de una cuerda.

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   Exhibir un contraejemplo. Se toma

   $f(x)=\arctan x,\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad f''(x)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$

   Esta $f$ es dos veces derivable (de hecho, infinitamente derivable) en todo $\mathbb{R}$, tal como se exige.

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   Mostrar que el valor f′(0) = 1 es inalcanzable. Para cualesquiera $x_1<x_2$,

   $\frac{\arctan x_2-\arctan x_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{1+t^{2}}<\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}1\,dt=1$

   La desigualdad es estricta porque $\tfrac{1}{1+t^{2}}<1$ para todo $t\neq 0$, y un único punto no puede igualar las integrales. Así que ninguna pendiente de cuerda llega nunca a $1=f'(0)$.

   $\boxed{\text{El enunciado es FALSO; }f(x)=\arctan x\text{ con }\xi=0\text{ es un contraejemplo}}$

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   Revisar los números. Las mayores pendientes de cuerda de $\arctan$ provienen de intervalos cortos que rodean el $0$: para $[-h,h]$ la pendiente es $\tfrac{2\arctan h}{2h}=\tfrac{\arctan h}{h}$, que vale $0.9967$ con $h=0.1$ y $0.99997$ con $h=0.01$; se acerca a $1$ pero nunca lo alcanza.

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   Señalar cuándo el enunciado sí es cierto. Si $f'$ alcanza su valor en $\xi$ en algún sitio que no sea un extremo aislado — por ejemplo si $f'$ es monótona, o si $f'(\xi)$ queda estrictamente entre $\inf f'$ y $\sup f'$ —, entonces el teorema del valor intermedio aplicado a la función «pendiente de cuerda» sí produce $x_1,x_2$ adecuados. El fallo se limita a los valores de $f'$ en sus extremos globales estrictos.