Halla la serie de Taylor de (1 + 2x)^(1/2) en torno a x = 0, da el término general e indica el intervalo de convergencia.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa la serie binomial en lugar de derivar repetidamente. El teorema del binomio generalizado afirma que

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},$

   válido para $|t|<1$ y cualquier $\alpha$ real. Al comparar con el problema: $\alpha=\tfrac12$ y $t=2x$. Calcular $f^{(n)}(0)$ a mano exigiría cuatro rondas de regla de la cadena para llegar al mismo sitio.

2. 2

   Calcula los primeros coeficientes sin perder las potencias de 2. Cada término es $\binom{1/2}{n}(2x)^{n}$, así que hay que arrastrar el $2^{n}$:

   $n=1:\ \tfrac12(2x)=x;\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}(4x^{2})=-\tfrac12x^{2};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}(8x^{3})=\tfrac12x^{3};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}(16x^{4})=-\tfrac58x^{4}.$

   Olvidar el $2^{n}$ es con diferencia el error más frecuente y daría $\tfrac18x^{2}$ en lugar de $-\tfrac12x^{2}$.

3. 3

   Escribe el desarrollo. Reuniendo los términos:

   $\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{5x^{4}}{8}+\cdots$

   Fíjate en los signos: a partir de los dos primeros términos se alternan, porque todo factor $\left(\tfrac12-k\right)$ con $k\ge1$ es negativo.

4. 4

   Enuncia el término general. En forma cerrada,

   $\sqrt{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}2^{n}x^{n}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{n!}\,x^{n},$

   donde $(2n-3)!!=1\cdot3\cdots(2n-3)$. Comprobación con $n=4$: $\frac{-1\cdot(1\cdot3\cdot5)}{24}=-\frac{15}{24}=-\frac58$ ✓.

5. 5

   Halla el intervalo de convergencia y contrasta numéricamente. La serie binomial exige $|t|=|2x|<1$, es decir $|x|<\tfrac12$; como $\alpha=\tfrac12>0$, la serie también converge absolutamente en ambos extremos, lo que da $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$. En $x=0.05$ los cuatro términos escritos dan $1.0488086$ frente a $\sqrt{1.1}=1.0488088$ ✓; en $x=0.1$ dan $1.0954375$ frente a $1.0954451$ ✓: el error crece a medida que $x$ se acerca al extremo, exactamente como cabía esperar.