Demostrar que f(x) = la suma desde n = 2 hasta infinito de sen(nx)/(n ln n) es continua en x = 0.

Step-by-step solution

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   Reducirlo a una afirmación sobre un límite, y ver por qué fallan las herramientas fáciles. Todos los términos se anulan en $x=0$, así que $f(0)=0$ y la continuidad equivale a que $f(x)\to0$ cuando $x\to0$. El criterio $M$ de Weierstrass no sirve aquí: $\sum 1/(n\ln n)$ diverge. El criterio de Dirichlet da convergencia uniforme solo en $[\delta,2\pi-\delta]$, es decir, precisamente lejos del punto que interesa. Así que hay que partir la suma a mano. Como $f$ es impar, basta tratar $0<x<\tfrac12$.

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   Elegir el punto de corte. Sea $N=\lfloor 1/x\rfloor$, de modo que $N\le 1/x<N+1$ y $N\to\infty$ cuando $x\to0^{+}$. Escribimos

   $f(x)=\underbrace{\sum_{n=2}^{N}\frac{\sin nx}{n\ln n}}_{S_1}+\underbrace{\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n\ln n}}_{S_2}.$

   Para $n\le N$ el ángulo $nx\le 1$ es pequeño, así que $\sin nx$ se puede acotar de forma tosca; para $n>N$ el seno oscila y hay que aprovechar la cancelación. Dos regímenes, dos estimaciones distintas.

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   Acotar la cabeza $S_1$ con $|\sin nx|\le nx$.

   $|S_1|\le\sum_{n=2}^{N}\frac{nx}{n\ln n}=x\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{\ln n}.$

   Al partir esa suma en $\sqrt N$ —por debajo se usa $1/\ln n\le 1/\ln 2$ y por encima $1/\ln n\le 2/\ln N$— queda

   $x\sum_{n=2}^{N}\frac1{\ln n}\le \frac{x\sqrt N}{\ln 2}+\frac{2xN}{\ln N}\le\frac{1}{\sqrt N\,\ln 2}+\frac{2}{\ln N},$

   usando $xN\le 1$ y $x\sqrt N\le 1/\sqrt N$. Las dos piezas tienden a $0$. La acotación ingenua $1/\ln n\le1/\ln 2$ por sí sola daría solo $O(1)$, y por eso hace falta el corte en $\sqrt N$.

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   Acotar la cola $S_2$ por sumación de Abel. La estimación del núcleo de Dirichlet da, para $0<x\le\pi$ y cualesquiera $q>p$,

   $\left|\sum_{n=p}^{q}\sin nx\right|\le\frac{1}{\sin(x/2)}\le\frac{\pi}{x},$

   ya que $\sin(x/2)\ge x/\pi$ en $(0,\pi]$. Como $a_n=1/(n\ln n)$ decrece hacia $0$, la desigualdad de Abel proporciona

   $|S_2|\le a_{N+1}\cdot\frac{2\pi}{x}=\frac{2\pi}{x\,(N+1)\ln (N+1)}.$

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   Terminar la estimación de la cola. Puesto que $N+1>1/x$, se tiene $x(N+1)>1$, así que

   $|S_2|\le\frac{2\pi}{\ln(N+1)}\xrightarrow[x\to0^{+}]{}0.$

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   Combinar. Tanto $S_1$ como $S_2$ tienden a $0$ cuando $x\to0^{+}$, luego $f(x)\to0=f(0)$; por ser impar, lo mismo ocurre por la izquierda. Así que $f$ es continua en $x=0$. $\blacksquare$ Las mismas estimaciones demuestran de hecho algo más: como $n\,a_n=1/\ln n\to0$, el teorema de Chaundy–Jolliffe asegura que la serie de senos converge uniformemente en todo $\mathbb{R}$, de modo que $f$ es continua en todas partes.