Calcula el límite de sen(x) cuando x tiende a infinito, o demuestra que no existe.

Step-by-step solution

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   Recuerda qué tendría que significar ese límite. Afirmar que $\lim_{x\to\infty}\sin x=L$ exige que, para cada tolerancia $\varepsilon>0$, exista un $M$ a partir del cual $|\sin x-L|<\varepsilon$ para todo $x>M$. Por eso basta una sola sucesión de valores grandes de $x$ que se porte mal para echar abajo la afirmación.

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   Observa que estar acotada no basta. La función cumple $-1\le\sin x\le1$ para todo $x$, así que nunca se dispara al infinito. Pero estar acotada no implica converger: una función acotada puede oscilar para siempre, y eso es justo lo que ocurre aquí.

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   Exhibe dos subsucesiones con límites distintos. Toma

   $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin x_{n}=1,\qquad y_{n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin y_{n}=-1.$

   Tanto $x_{n}\to\infty$ como $y_{n}\to\infty$ cuando $n\to\infty$, y sin embargo los valores de la función se quedan fijos para siempre en $1$ y en $-1$.

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   Concluye que no existe ningún límite. Si el límite fuera cierto número $L$, entonces toda sucesión que tienda a infinito tendría que dar valores de la función que tiendan a $L$. Aquí una da $1$ y otra da $-1$, y $1\ne-1$, de modo que no existe tal $L$:

   $\lim_{x\to\infty}\sin x\ \text{no existe.}$

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   Distingue esto de los límites que «valen infinito». Un límite puede fallar de dos maneras distintas: creciendo sin cota (como en $\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$) o oscilando (como aquí). A $\sin x$ solo le aplica la segunda. Nota además que una versión amortiguada sí converge — $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ por el teorema del sándwich, ya que $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x$ — así que lo que provoca el fallo es la oscilación no acotada del argumento, no el seno en sí.