Halla una aproximación útil para ln(x/y) cuando x está cerca de y, y da el siguiente término de corrección.

Step-by-step solution

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   Convierte el cociente en una perturbación pequeña. Escribe $x=y+\Delta$ con $\Delta=x-y$ pequeño en comparación con $y$. Entonces

   $\frac{x}{y}=1+\frac{\Delta}{y},\qquad\text{de modo que}\qquad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln\!\left(1+u\right),\quad u=\frac{x-y}{y}.$

   La cantidad $u$ es el cambio relativo de $x$ respecto de $y$. Reformular el problema en términos de $u$ es lo que permite que un solo desarrollo en serie haga todo el trabajo.

2. 2

   Desarrolla el logaritmo alrededor de $u=0$. La serie de Maclaurin es

   $\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots,\qquad |u|<1.$

   La ausencia de término constante refleja que $\ln1=0$, y el coeficiente principal $1$ es $\frac{d}{du}\ln(1+u)$ evaluado en $u=0$.

3. 3

   Lee la aproximación de primer orden. Conservando solo el término principal,

   $\boxed{\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}}$

   Esta es la afirmación conocida de que una diferencia de logaritmos aproxima una variación porcentual: una subida del $3\%$ produce un cambio logarítmico de alrededor de $0.03$.

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   Agrega la corrección cuadrática. Conservando un término más,

   $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}-\frac12\left(\frac{x-y}{y}\right)^{2}.$

   La corrección siempre es negativa cuando $x>y$, lo que indica que la estimación de primer orden sobreestima sistemáticamente el logaritmo de una subida — el logaritmo es cóncavo.

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   Fíjate en el otro punto base y cuantifica el error. Desarrollar alrededor de $x$ en vez de $y$ da $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{x}$, que subestima el valor; las dos estimaciones laterales encierran el valor verdadero, y dividir entre el punto medio resulta más preciso que cualquiera de ellas. Numéricamente, con $x=10.3$, $y=10$: el valor exacto es $0.0295588$, la estimación de primer orden es $0.03$ (error del $1.5\%$) y la de segundo orden es $0.029550$ (error del $0.03\%$) ✓.