Calcular la integral definida de x² · e^(−x) desde x = 0 hasta x = 1.

Step-by-step solution

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   Elegir las partes de modo que baje el grado del polinomio. El integrando es un polinomio por una exponencial, el caso clásico de integración por partes. Se toma $u = x^2$ (que al derivar tiende a cero) y $dv = e^{-x}dx$ (que al integrar no crece), así que $du = 2x\,dx$ y $v = -e^{-x}$.

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   Aplicar la integración por partes una primera vez.

   $\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x}dx$

   La integral que queda tiene grado $1$ en lugar de $2$: un paso más cerca de algo elemental.

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   Aplicarla una segunda vez. Con $u = 2x$ y $dv = e^{-x}dx$:

   $\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} + \int 2e^{-x}dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x}$

   Al juntar todo, la primitiva es

   $\int x^2 e^{-x}dx = -\left(x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} + C$

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   Evaluar en los límites. En $x = 1$: $-(1 + 2 + 2)e^{-1} = -5e^{-1}$. En $x = 0$: $-(0 + 0 + 2)e^{0} = -2$. Al restar,

   $\int_0^1 x^2 e^{-x}dx = -\frac{5}{e} - (-2) = 2 - \frac{5}{e}$

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   Confirmar que el valor es verosímil. Con $e \approx 2.718282$, resulta $\tfrac{5}{e} \approx 1.839397$, así que la integral vale $\approx 0.160603$. Una aproximación de Simpson compuesta en $[0,1]$ da $0.1606028$, coincidente hasta la séptima cifra decimal. El valor queda holgadamente por debajo de la cota burda $\int_0^1 x^2 dx = \tfrac13$, como tiene que ser, ya que $e^{-x} < 1$ en el intervalo.