Resuelve la ecuación diferencial y'' − 3y' + 2y = eˣ.

Step-by-step solution

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   Resuelve primero la ecuación homogénea. Sustituir $y = e^{rx}$ en $y'' - 3y' + 2y = 0$ da la ecuación característica

   $r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 1,\ 2$

   así que $y_h = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$. Hay que hallarla antes que la solución particular, porque es la que revela si el término forzante es resonante.

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   Detecta la resonancia. El término forzante $e^{x}$ tiene exponente $1$, que es una de las raíces características: $e^{x}$ ya es solución de la homogénea. Probar con $y_p = Ae^{x}$ daría al sustituir $0$, nunca $e^{x}$, de modo que esa prueba no puede funcionar.

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   Multiplica la prueba por x. El remedio estándar para una raíz simple es un factor adicional de $x$: toma $y_p = Axe^{x}$. Entonces

   $y_p' = A(1 + x)e^{x}, \qquad y_p'' = A(2 + x)e^{x}$

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   Sustituye e iguala coeficientes.

   $A(2+x)e^{x} - 3A(1+x)e^{x} + 2Axe^{x} = A e^{x}\left[(2+x) - 3(1+x) + 2x\right] = -Ae^{x}$

   Los términos en $x$ se cancelan exactamente: esa es la firma de una prueba resonante bien elegida. Imponer $-Ae^x = e^x$ da $A = -1$, así que $y_p = -xe^{x}$.

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   Arma y verifica la solución general.

   $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} - xe^{x}$

   Comprobación: con $y_p = -xe^x$ se tiene $y_p' = -(1+x)e^x$ y $y_p'' = -(2+x)e^x$, de modo que $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = e^x\left[-(2+x) + 3(1+x) - 2x\right] = e^x$, como se pedía.