Halla el desarrollo en serie de Taylor de 2ˣ en torno a x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte la potencia de base 2 en una potencia de base e. Derivar $2^x$ una y otra vez es incómodo, pero toda exponencial puede reescribirse en base $e$ usando $a = e^{\ln a}$:

   $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$

   Ahora el problema se reduce a una serie ya conocida.

2. 2

   Sustituye en la serie exponencial. Como $e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$ para todo $u$ real, toma $u = x\ln 2$:

   $2^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}\,x^n$

3. 3

   Confirma que los coeficientes coinciden con la definición por derivadas. El coeficiente de Maclaurin es $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$, y $\frac{d^n}{dx^n}2^x = (\ln 2)^n 2^x$, que en $x = 0$ vale $(\ln 2)^n$. Al dividir entre $n!$ se reproducen los mismos coeficientes: el atajo y la definición coinciden.

4. 4

   Escribe los primeros términos. Con $\ln 2 \approx 0.6931472$:

   $2^x = 1 + 0.693147\,x + 0.240227\,x^2 + 0.055504\,x^3 + 0.009618\,x^4 + \cdots$

   A diferencia de $e^x$, cuyos coeficientes solo decrecen por el factorial, aquí decrecen más deprisa porque $\ln 2 < 1$ aporta un factor de amortiguamiento adicional en cada término.

5. 5

   Enuncia el radio de convergencia. La serie exponencial converge para todo $u$ real, y $u = x\ln 2$ es finito siempre que $x$ lo sea, así que el radio es infinito: el desarrollo vale para todo $x \in \mathbb{R}$.

6. 6

   Contrasta en x = 1. Sumar los ocho primeros términos da $1 + 0.693147 + 0.240227 + 0.055504 + 0.009618 + 0.001333 + 0.000154 + 0.000015 = 1.999999$, que converge a $2^1 = 2$ como cabía esperar.