Evaluar la integral impropia de 1/(x + √(x² − 1))² respecto de x desde 1 hasta infinito, y explicar por qué el límite inferior no puede ser 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Fijar el dominio antes de integrar. Para $0\le x<1$ el radicando $x^2-1$ es negativo, así que $\sqrt{x^2-1}$ no es un número real y el integrando queda indefinido ahí. El mayor intervalo en el que esta es una integral real genuina empieza en $x=1$: escribir $0$ como límite inferior es un error de enunciado, no un problema de convergencia.

2. 2

   Elegir la sustitución que lineariza el radical. Para $x\ge 1$ se toma

   $x=\cosh t,\qquad t\ge 0$

   Entonces $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\cosh^2t-1}=\sinh t$ (no negativo para $t\ge0$) y $dx=\sinh t\,dt$.

3. 3

   Simplificar el paréntesis: por esto el coseno hiperbólico es la elección correcta.

   $x+\sqrt{x^2-1}=\cosh t+\sinh t=e^{t}$

   así que el paréntesis al cuadrado es simplemente $e^{2t}$. Los límites se transforman como $x=1\Rightarrow t=0$ y $x\to\infty\Rightarrow t\to\infty$.

4. 4

   Reescribir la integral.

   $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh t}{e^{2t}}\,dt=\int_0^\infty e^{-2t}\sinh t\,dt$

5. 5

   Desarrollar el seno hiperbólico en exponenciales. Con $\sinh t=\tfrac{e^t-e^{-t}}{2}$,

   $e^{-2t}\sinh t=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

   que es una diferencia de dos exponenciales decrecientes, ambas integrables en $[0,\infty)$.

6. 6

   Integrar y evaluar. Como $\int_0^\infty e^{-kt}dt=\tfrac1k$,

   $\frac12\left(\int_0^\infty e^{-t}dt-\int_0^\infty e^{-3t}dt\right)=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac12\cdot\frac23=\frac13$

   La cuadratura numérica de $\int_0^{40}e^{-2t}\sinh t\,dt$ da $0.3333333333$, lo que confirma el valor exacto $\tfrac13$.