Sea f una función continua y positiva en el intervalo cerrado de 0 a π/2, y supón que la integral de e elevado a f(x) por sen x por ln f(x), y la integral de e elevado a f(x) por cos x por ln f(x), son ambas cero. Demuestra que existe un punto x₁ en el intervalo abierto con f(x₁) = 1.

Step-by-step solution

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   Reformula el objetivo en términos de $\ln f$. Como $f>0$, la composición $g(x)=\ln f(x)$ está definida y es continua en todo el intervalo, y

   $f(x_1)=1\iff g(x_1)=0.$

   Así que la afirmación es que $g$ tiene un cero en $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$. Convertir un enunciado del tipo "alcanza el valor $1$" en otro del tipo "tiene una raíz" es lo que permite usar el teorema del valor intermedio.

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   Identifica el signo del peso. En el intervalo abierto $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ se tiene $\sin x>0$, y $e^{f(x)}>0$ en todas partes porque la exponencial es siempre positiva. Por lo tanto el peso

   $w(x)=e^{f(x)}\sin x$

   es estrictamente positivo en $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$, y el signo del integrando $w(x)g(x)$ queda decidido por completo por $g$.

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   Razona por contradicción con el teorema del valor intermedio. Supón que $g$ no tiene ningún cero en $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$. Una función continua sin ceros en un intervalo no puede cambiar de signo: si tomara a la vez un valor positivo y uno negativo, el teorema del valor intermedio forzaría un cero entre ambos. Así que o bien $g>0$ en todo el intervalo, o bien $g<0$ en todo el intervalo.

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   Deduce la contradicción a partir de $I_1=0$. En el primer caso $w g>0$ en el intervalo abierto, así que el integrando continuo es estrictamente positivo ahí y

   $I_1=\int_0^{\pi/2}w(x)g(x)\,dx>0.$

   En el segundo caso el mismo razonamiento da $I_1<0$. En cualquiera de los dos casos $I_1\ne0$, en contradicción con la hipótesis. Por lo tanto $g$ debe anularse en algún punto de $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$, es decir, $f(x_1)=1$ para algún $x_1$. $\blacksquare$

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   Observa para qué sirve la segunda hipótesis. La demostración usó solo $I_1=0$; la condición $I_2=0$ no hizo falta en ningún momento, porque $\cos x>0$ en $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ hace que $I_2$ transporte exactamente la misma información. Cualquiera de las dos integrales, por sí sola, fuerza la conclusión. Lo que de verdad importa es que el peso conserve un solo signo en el intervalo abierto: sustituye $\sin x$ por $\cos 2x$, que cambia de signo en $\pi/4$, y el argumento se derrumba; la constante $f\equiv e$ da entonces $\int_0^{\pi/2}e^{e}\cos 2x\,dx=0$ sin que $f$ llegue nunca a $1$.